42. óra feladatsora: Valószínûségszûmítási gyakorlat I. (Ism.)
1. feladat: Egy
kalapban négy számozott cédula van: 1, 2, 3, 4 felirattal.
Véletlenszerûen kiveszünk sorban 3 db-ot, és lerakjuk egymás mellé. Pl.:
Mekkora a valószínûsége, hogy a kialakult (háromjegyû) szám osztható
6-tal?
Az 1. feladat (egy lehetséges) megoldása
Az eseménytér, \(E\) az 1; 2; 3; 4 számok háromelemû
variációinak halmaza. Elemszáma: \(|E|=4\cdot3\cdot2=24\)
(Emlék: ha egy halmazból kiválasztunk
néhány elemet sorrendre tekintettel, az a kiválasztás a halmaz
elemeinek egy megfelelõ elemszámú variációja.)
Jelölje \(H\) a kedvesõ eseményeket! Ezek azok a variációk, amelyeket
leírva 6-tal osztható számot kapunk.
Egy szám pontosan akkor osztható 6-tal, ha
- osztható kettõvel, tehát a végén páros számjegy áll, és
- osztható hárommal is, azaz a számjegyek összege 3-mal osztható.
Mikor lesz a számjegyek összege 3-mal osztható? (Itt a sorrend
érdektelen, hisz a számjegyek összege azt nem érzéli.)
A négy számjegyünk összege 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Egyiket kell elhagyjunk
úgy, hogy a megmaradtak 3-mal oszthatók legyenek. Elhagyhatjuk az
1-et, akkor az összeg 9, és elhagyhatjuk a 4-et, akkor az összeg 6.
A páros végzõdésre tekintettel:
- ha az 1-et hagytuk ki, marad a 2; 3; 4: négy lehetõség: 234; 324;
342; 432;
- ha a 4-et hagyjuk el, marad az 1; 2; 3: két lehetõség: 132; 312;
A kedvezõ események halmaza: \(H=\left\{234; 324; 342; 432; 132;
312\right\}\). Elemszáma: \(|H|=6\).
A vszg.i mezõ kombinatorikus (minden elemi esemény egyformán
valószínû).
Válasz: Annak valószínûsége, hogy 6-tal osztható számot
húzunk:
\[
P(H) = \frac{|H|}{|E|} = \frac{6}{24} =
\color{darkred}{\mathbf{\frac14}} = \color{darkred}{\mathbf{0,25}} =
\color{darkred}{\mathbf{25\%}}
\]
(Az eredmény fenti három
alakjának bármelyike ugyanolyan jó.)
2. feladat: 1 m hosszú
pálcát véletlenszerû helyen eltörünk. (A törés a teljes hosszon
egyenletesen véletlenszerû helyen történik.)
Mekkora a valószínûsége, hogy a két darab és még egy fél méter hosszú
pálca, mint oldalak, háromszöggé állíthatók össze?
A 2. feladat (egy lehetséges) megoldása
Jelölje \(x\) a törés helyét a \([0;1]\) intervallumban. Az
eseménytér: \(E=[0;1]\). A vszg. geometriai. Az eseménytér geometriai
mértéke a hosszúság: \(\text{hossz}(E)=1\).
Ha az \(x\) helyen eltörjük a pálcát, a két darab hossza: \(x\) és
\(1-x\). Ha ehhez hozzáveszünk egy fél méteres darabot, a három pálca
\[
x;1-x;\tfrac12
\]A kedvezõ események halmazát jelölje \(K\).
Az \(x\in E\) akkor esik \(K\)-ba, ha az \(x;1-x;\frac12\) számok
kielégítik a háromszög-egyenlõtlenséget.
(A háromszög-egyenlõtlenség szerint a
három szám bármelyike kisebb kell legyen a másik kettõ összegénél.)
Praktikusan elég azt nézni, hogy a három szám közt a legnagyobb (vagy
egyik legnagyobb) is kisebb a másik kettõ összegénél.
1. eset \(x<\frac12\): Ekkor \(1-x\) lesz a
legnagyobb. A feltétel tehát:
\begin{equation}\begin{split}
1-x &< x + \tfrac12\\
\tfrac12 &< 2x\\
\tfrac14 &< x
\end{split}\end{equation}Ezen az ágon kapott 'jó' \(x\)-ek:
\(x\in\left(\frac14;\frac12\right)\).
2. eset \(x=\frac12\): Ekkor mindhárom szakasz
\(\frac12\) hosszú. Abból lehet háromszög: \(x\in K\).
3. eset \(x>\frac12\): Ekkor \(x\) lesz a
legnagyobb. A feltétel tehát:
\begin{equation}\begin{split}
x &< 1-x + \tfrac12\\
2x &< \tfrac32\\
x &< \tfrac34
\end{split}\end{equation}Ezen az ágon kapott 'jó' \(x\)-ek:
\(x\in\left(\frac12;\frac34\right)\).
Összefoglalva: \(K=\left(\frac14;\frac34\right).
\(\text{hossz}(K)=\tfrac34-\tfrac14 = \tfrac12\).
Válasz: Annak valószínûsége, hogy a három pálcadarabból háromszöget
lehessenek készíteni:
\[
P(K) = \frac{\text{hossz}(K)}{\text{hossz}(E)} = \frac{\frac12}{1} =
\color{darkred}{\mathbf{\frac12}} = \color{darkred}{\mathbf{0,5}} =
\color{darkred}{\mathbf{50\%}}
\]
(Az eredmény fenti három
alakjának bármelyike ugyanolyan jó.)
3. feladat: Nyuszika
vásárol a virágboltban 8 tulipánhagymát:
- három pirosat és
- öt sárgát.
Nyuszika hazafelé menet vidáman ugrándozik, így a tulipánhagymák
összekeverednek.
Otthon Nyuszianyuval elültetik egy virágládában, persze nem tudják
melyik milyen színû. A virágok kikelnek, és kialakul egy véletlenszerû
színsorrend, például:
Milyen eséllyel lesz mind a két szélsõ piros?
A 3. feladat (egy lehetséges) megoldása
Csak a piros tulipánok helyét figyeljük. (A sárgák a megmaradt
helyeken vannak.)
Az eseménytér a 8 hely 3-elemû kombinációiból áll. Azt figyeljük,
melyik 3 helyen áll piros tulipán.
Az eseménytér elemszáma: \(|E|=\binom83=56\). Minden elemi esemény
egyformán valószínû.
Jelölje \(Sz\) azokat a kombinációkat, amikor a két szélén piros van
- vagyis a kombinációban az 1. és a 8. hely is szerepel. \(Sz\) a
kedvezõ események halmaza.
\(Sz\) elemeiben csak egyetlen pozíció szabad, miszerint hogy a
harmadik piros hol áll. Állhat a 2., 3., ... 7 helyen. Ez hat
lehetõség. \(|Sz|=6\)
Válasz: Annak valószínûsége, hogy mind a két szélre piros
tulipán kerüljön:
\[
P(K) = \frac{|Sz|}{|E|} = \frac{6}{56} =
\color{darkred}{\mathbf{\frac3{28}}} \approx
\color{darkred}{\mathbf{0,1071}} = \color{darkred}{\mathbf{10,71\%}}
\]
4. feladat: Tamás
minden reggel iskolába indul. Egy \(7^{00}\) és \(8^{00}\) közötti
egyenletesen véletlen idõpontban kimegy a buszmegállóba. Vár a buszra.
Türelmetlen ember, ha 6 percig nem jön semmi, hazamegy, visszafekszik,
aznap nem megy iskolába.
Tamásnak két busz jó:
- a 91-es: a megállóból indul minden óra '00-,
'15-, '30-, '45-kor;
- a 19-es: a megállóból indul minden óra '03-,
'23-, '43-kor.
A menetidõ az iskoláig 16 perc. (A buszra szállás pillanatától az
iskolába beérésig.)
A) Mekkora a valószínûsége annak, hogy egy nap Tamás
iskolába megy?
B) Mekkora az esélye, hogy Tamás bemegy, de késik?
(8-ra kellene beérnie.)
A 4. feladat (egy lehetséges) megoldása
Az idõt mérjük a 7 óra után eltelt percekben! Eszerint az eseménytér,
Tamás érkezése a megállóba, \(E=[0;60]\).
Az \(E\) geometrikus vszg. van. Geometriai mérték a hosszúság:
\(\text{hossz}(E)=60\).
Jelölje \(A\) azt az eseményt, hogy Tamás iskolába megy. Az \(A\)
esemény a maximálisan 6 perces váakozási idõt figyelembe véve a buszok
indulásától visszaszámolva 6 percen belüli intervallumokból áll.
\begin{equation}\begin{split}
A&=[0;3]\cup[9;15]\cup[17;23]\cup[24;30]\cup[24;30]\cup[37;45]\cup[54;60]\\
\text{hossz}(A)&=3+6+6+6+8+6 = 35
\end{split}\end{equation}
Jelölje \(B\) azt az eseményt, hogy Tamás iskolába megy, de késik. A
\(B\) esemény része \(A\)-nak.
Tamás akkor késik el, ha a 45-kor vagy a 60-kor érkezõ buszt éri el.
Ennek megfelelõen:
\begin{equation}\begin{split}
B&=(43;45]\cup[54;60]\\
\text{hossz}(B)&=2+6 = 8
\end{split}\end{equation}
Válasz az A kérdésre: Annak valószínûsége, hogy Tamás
iskolába megy:
\[
P(A) = \frac{\text{hossz}(A)}{\text{hossz}(E)} = \frac{35}{60} =
\color{darkred}{\mathbf{\frac7{12}}}
\approx\color{darkred}{\mathbf{0,5833}} =
\color{darkred}{\mathbf{58,33\%}}
\]
Válasz a B kérdésre: Annak valószínûsége, hogy Tamás késve ér
az iskolába:
\[
P(B) = \frac{\text{hossz}(B)}{\text{hossz}(E)} = \frac{8}{60} =
\color{darkred}{\mathbf{\frac2{15}}}
\approx\color{darkred}{\mathbf{0,1333}} =
\color{darkred}{\mathbf{13,33\%}}
\]
(Az eredmények fenti
három-három alakjának bármelyike ugyanolyan jó - bár a közönséges tört
a pontos.)
5. feladat: Útépítõ
munkások fasort ültetnek az út mellé. Fenyõk és bükkfák kerülnek oda,
összesen 7 db, sorban egymás mellé, véletlenszerûen (ahogy jön).
(Végtelen a készlet mindkettõbõl, és mindig ugyanannyi az esélye, hogy
ez vagy az jön.) Például:
Mekkora annak a valószínûsége, hogy bükkfák nem kerülnek egymás mellé?
A 5. feladat (egy lehetséges) megoldása
A nyolc hely mindegyikén fenyõ, vagy bükk áll. Ez két-két lehetõség
mindenütt.
Az eseménytér: \(E=\left\{\text{2 elem 7-edrendû ismétléses
variációi}\right\}\).
(Emlék: Ha \(n\) különbözõ elembõl
kiválaszunk \(k\) db-ot sorrendre tekintettel, az ismétlést is
megengedve, kapjuk az \(n\) elem egy \(k\)-adrendû ismétléses
variációját.\(n\) elem \(k\)-adrendû ismétléses variációinak száma:
\(V_n^k=k^n\).)
Az eseménytér elemszáma: \(|E|=2^7=128\). Az eseménytéren
kombinatorikus a valószínûség.
A kedvezõ események halmazát jelölje \(K\), azokból az ismétléses
variációkból áll, amelyekben nincs egymás mellett bükkfa. Ennek
elemszámát kell megállapítanunk. Ezt tanulási céllal többféleképpen is
megnézzük.
1. módszer: Az összes elem felsorolása. Jelölje B a
bükkfát, F a fenyõt! Az eseteket a bükkfák száma szerint csoportosítva
írjuk fel:
- 0 db bükk: FFFFFFF. Ez 1 eset.
- 1 db bükk: BFFFFFF, FBFFFFF, ..., FFFFFBF, FFFFFFB. Ez 7
eset.
- 2 db bükk: A lehetõségek száma 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.
Ezek az alábbiak:
- Az 1. helyen van bükk: BFBFFFF, BFFBFFF, BFFFBFF, BFFFFBF,
BFFFFFB. Ez 5 aleset.
- A 2. helyen áll elõször bükk: FBFBFFF, FBFFBFF, FBFFFBF,
FBFFFFB. Ez 4 aleset.
- A 3. helyen áll az elsõ bükk: FFBFBFF, FFBFFBF, FFBFFFB. Ez 3
aleset.
- A 4. helyen áll az elsõ bükk: FFFBFBF, FFFBFFB. Ez 2 aleset.
- Az 5. helyen áll az elsõ bükk: FFFFBFB. Ez 1 aleset.
- 3 db bükk: A lehetõségel száma 6 + 3 + 1 = 10.
Ezek a következõk:
- Az 1. helyen áll egy bükk: a lehetõségek száma 3 + 2 + 1 = 6
aleset. Ezek az alábbiak:
- a második bükk a 3. helyen áll: BFBFBFF, BFBFFBF, BFBFFFB. Ez
3 al-aleset.
- a második bükk a 4. helyen áll: BFFBFBF, BFFBFFB. Ez 2
al-aleset.
- a második bükk az 5. helyen áll: BFFFBFB. Ez 1 al-aleset.
- Az elsõ bükk a 2. helyen áll: a lehetõségek száma 2 + 1 = 3.
Ezek az alábbiak:
- A második bükk a 4. helyen áll: FBFBFBF, FBFBFFB. Ez 2
al-aleset.
- A második bükk az 5. helyen áll: FBFFBFB. Ez 1 al-aleset.
- Az elsõ bükk a 3. helyen áll: FFBFBFB. Ez az 1 aleset van.
- 4 db bükk: BFBFBFB, más lehetõség nincs. Ez 1
eset.
- 5 vagy annál több bükk nem helyezhetõ el úgy, hogy ne kerüljön
bükk egymás mellé.
\(|K|=1+7+15+10+1=34\).
2. módszer: Bolyongással. Készítsünk egy bolyongási
táblát, amelyben jobbra és lefele léphetünk sakktáblaszerûen. A
jobbra lépés jelentse azt, hogy fenyõ jön, a lefele lépés jelentse
azt, hogy bükk jön.
A tábla bal felsõ sarkában 1 áll. Ez azt jelenti, hogy 0 db fát 1
-féleképp helyezhetünk el a feltételeknek megfelelõen. Innen indulunk,
és töltjük ki a bolyongási tábla celláit. A cellák értéke a többi
cellából számolható rekurzívan.
Szabályok:
- szabály: Bármely cellába szabadon léphetünk a tõle balra álló
cellból, mert az jobbralépés, tehát fenyõ, ami a feltételt nem
sértheti. Tehát egy cellába beírható a tõle balra álló értéke
összeadandóként. (Ha tõle balra nincs semmi, akkor az összeadandó is
semmi.)
- szabály: A fölöttünk álló cellából csak akkor jöhetünk ide, ha oda
nem fölülrõl jöttünk. (Mert ha oda felülrõl érkeztünk, akkor éppen
most tettünk le egy bükkfát, tehát ha lefele továbbmennénk az még
egy bükkfát jelentene. Az pedig tilos.) Azt a részét adhatjuk tehát
hozzá a felettünk álló cellának a mienkhez, amely a felettünk álló
cella balról jövõ része.
Vagyis a balra felettünk átlósan álló cella értéke írható ide
összeadandóként.
A séta akkor ér véget, ha hetet lépünk (ezeket a helyeket az ábrán
kiemeltem). A tábla praktikusan vízszintesen max. 7, függõlegesen max.
4 lépésnyire kell kiterjedjen, mert több fenyõ, ill. bükk nem játszik.
A lehetõségek száma a szabályos hétlépéses utak végpontjaiba írt
számok összege:
\[
|K| = 1+7+15+10+1=34
\]
3. módszer: Egy Fibonacci-szerû sorozat
alkalmazásával.
Legyen \(k_n\) annak száma, ahányféleképp \(n\) db fa (fenyõ v. bükk)
elhelyezhetõ úgy, hogy bükk nem kerül egymás mellé!
\(k_0=1\), \(k_1=2\), a rekurzió: \(k_{n+1} = k_n+k_{n-1}\). (Ezt
piros/kék gyöngyökkel tanultuk, nem részletezném...)
\begin{equation}\begin{split}
k_0 &= 1\\
k_1 &= 2\\
k_2 &= 3\\
k_3 &= 5\\
k_4 &= 8\\
k_5 &= 13\\
k_6 &= 21\\
k_7 &= 34
\end{split}\end{equation}\(|K| = 34\)
Válasz: Annak valószínûsége, hogy a fasorban ne kerüljön
egymás mellé bükk:
\[
P(K) = \frac{|K|}{|E|} = \frac{34}{128} =
\color{darkred}{\mathbf{\frac{17}{64}}} \approx
\color{darkred}{\mathbf{0,2656}} = \color{darkred}{\mathbf{26,56\%}}
\]
6. feladat:
|
Lajos, a szórakozott kis
matematikus és Julcsi, egy zeg-zugos utcácskákból álló
kisvárosban laknak és ugyanabba az iskolába járnak. Reggeli
útjuk az iskolába menet (a zeg-zug-on) egy kis térnél fut össze,
ahol minden reggel egy egyenletesen véletlenszerû 7:00 - 8:00
közti idõpontban haladnak át. Kinek-kinek, ahogy sikerül.
(Minden idõpont egyenlõen valószínû mindkettõjük számára,
egymástól függetlenül, de 7 és 8 közé esik, az biztos.)
|
Lajos az érkezésekor megnézi az óráját, és annyit vár Julcsira, amennyi
a 8-ig hátrlévõ idõ fele. Pl. ha még fél óra van hátra 8-ig, akkor
negyed órát vár...
Ha addig Julcsi nem jön, elmegy az iskolába.
Julcsi 5 percet vár Lajosra, de legkésõbb 8-ig. Ha addig Lajos nem jön,
megy az iskolába.
Mekkora az esélye, hogy Julcsi és Lajos találkoznak?
A 6. feladat (egy lehetséges) megoldása
Az eseményteret jelölje E.
Az idõt a 7 óra után eltelt percekben mérjük.
A történetet két, egymástól teljesen függetlenül alakuló 0-60
közti véletelen szám alakítja ki.
Ez jól ábrázolható a koordinátarendszer \([0;60]\times[0;60]\)
koordinátájú pontjaival. Lajos érkezése az x-, Julcsié az
y-koordináta.
Az eseménytér geometriai mértéke a terület:
\[
T_E = 60\cdot60 = 3600
\]
|
|
A kedvezõ események
részhalmazát (ha tehát Lajos és Julcsi találkoznak) jelölje K.
Az eseménytér fõátlójában (ahol y = x)
helyezkednek el azok az elemi események, amelyeknél Lajos és
Julcsi egyszerre érkeznek. (Ezek jók.)
K-t két részre bontjuk.
K1 legyen az a rész, amikor Lajos érkezik
elõbb. Lajos vár. Ha addig Julcsi megjön, akkor jó. Meddig vár
Lajos?
Ha 0-kor érkezik, 30-ig vár...
... ha 10-kor érkezik, 35-ig vár...
... ha 20-kor érkezik, 40-ig vár...
...
... ha 50-kor érkezik, 55-ig vát...
... ha 60-kor érkezik, 60-ig vár. (Vagyis nem vár.)
|
|
Általában, ha Lajos az \(x\) idõpontban érkezik, akkor a várakozás
végpontját így számolja ki:
\[
x+\tfrac{60-x}2 = x + 30 - \tfrac{x}2 = \tfrac{x}2 + 30
\]A várakozási végpontok (amin belül Julcsi jó lenne, ha megérkezne)
egy egyenessé állnak össze, mely az
\[
f(x) = \tfrac{x}2 + 30
\]függvény grafikonja. Tehát \(K_1\) a szögfelezõ és az \(f(x)\)
grafikonja közé esõ része \(E\)-nek.
\[
T_{K_1} = \tfrac{30\cdot60}2 = 900
\]K2 legyen az a rész, amikor Julcsi érkezik
elõbb, de Lajos is megjön 5 percen belül (v. legkésõbb 5' múlva).
\[
T_{K_2} = \tfrac{60\cdot60}2 - \tfrac{55\cdot55}2 = \tfrac{3600-3025}2
= \tfrac{575}2
\]A K halmaz területe a két terület összege:
\[
T_K = T_{K_1} + T_{K_2} = 900 + \tfrac{575}2 = \tfrac{1800}2 +
\tfrac{575}2 = \tfrac{2375}2
\]A keresett valószínûség:
\[
P(K) = \tfrac{T_K}{T_E} = \tfrac{\frac{2375}2}{3600} =
\tfrac{2375}{7200} = \tfrac{95}{288} \approx 0,3299
\]Válasz: Annak valószínûsége, hogy Julcsi és Lajos
találkoznak 0,3299 vagy 32,99%.