Legyen \(a_n\) egy konvergens sorozat, \(\lim a_n = A\),
és \(b_n\) egy konvergens sorozat, \(\lim b_n = B\).
 
Állítás: A \(c_n:=a_n+b_n\) sorozat is konvergens, és \(\lim c_n=A+B\).

Bizonyítás: Adassék \(\varepsilon>0\) szám.

(1) Mivel \(a_n\) konvergens és határértéke \(A\), azért az \(\frac{\varepsilon}2>0\) számhoz található olyan \(K\) küszöbindex, amelyre:
\[
\big|\text{ }a_n-A\text{ }\big|<\frac{\varepsilon}2\text{ , ha }n>K
\]
(2) \(b_n\) is konvergens és határértéke \(B\), azért az \(\frac{\varepsilon}2>0\) számhoz található olyan \(M\) küszöbindex, amelyre:
\[
\big|\text{ }b_n-B\text{ }\big|<\frac{\varepsilon}2\text{ , ha }n>M
\]
(3) Legyen \(N=\max(K,M)\), azaz a kettõ közül a nagyobb. Így \(N\ge M\) és \(N\ge K\).

(4) Tekintsük a \(c_n =a_n+b_n\) eltérését a bizonyítandó \(A+B\) határértéktõl, midõn \(n>N\):
\begin{equation}
\begin{split}
\big|\text{ }c_n-(A+B)\text{ }\big| &= \big|\text{ }a_n+b_n-A-B\text{ }\big| = \big|\text{ }a_n-A+b_n-B\text{  }\big| \le \big|\text{ }a_n-A\text{ }\big| + \big|\text{ }b_n-B\text{ }\big| < \frac{\varepsilon}2 + \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon
\end{split}
\end{equation}Vagyis, ha \(n>N\), akkor a \(c_n\) az \(\varepsilon\)-nál közelebb van \(A+B\)-hez.

Közben alkalmaztuk a valós számok halmazán is igaz ,,háromszög-egyenlõtlenséget'': \(\big|\text{ }x+y\text{ }\big|\le \big|\text{ }x\text{ }\big|+\big|\text{ }y\text{ }\big|\).

Legyen \(a_n\) egy konvergens sorozat, \(\lim a_n = A\) és
\(b_n\) egy konvergens sorozat, \(\lim b_n = B\).
 
Állítás: A \(c_n:=a_n-b_n\) sorozat is konvergens, és \(\lim c_n=A-B\).

Adassék \(\varepsilon>0\) szám.

(1) Mivel \(a_n\) konvergens és határértéke \(A\), azért az \(\frac{\varepsilon}2>0\) számhoz található olyan \(M\) küszöbindex, amelyre:\[\big|\text{ }a_n-A\text{ }\big|<\frac{\varepsilon}2\text{ , ha }n>M\]
(2) \(b_n\) is konvergens és határértéke \(B\), azért az \(\frac{\varepsilon}2>0\) számhoz található olyan \(K\) küszöbindex, amelyre:\[\big|\text{ }a_n-A\text{ }\big|<\frac{\varepsilon}2\text{ , ha }n>K\]
(3) Legyen \(N=\max(M,K)\), azaz a kettõ közül a nagyobb. Így \(N\ge M\) és \(N\ge K\).

(4) Tekintsük \(c_n =a_n-b_n\) eltérését az \(A-B\) határértéktõl, midõn \(n>N\):
\begin{equation}
\begin{split}
\big|\text{ }c_n-(A-B)\text{ }\big| &= \big|\text{ }a_n-b_n-A+B\text{ }\big| = \big|\text{ }a_n-A+B-b_n\text{  }\big| \le \big|\text{ }a_n-A\text{ }\big| + \big|\text{ }B-b_n\text{ }\big| =\\
&= \big|\text{ }a_n-A\text{ }\big| + \big|\text{ }b_n-B\text{ }\big| < \frac{\varepsilon}2 + \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon
\end{split}
\end{equation}Vagyis, ha \(n>N\), akkor a \(c_n\) az \(\varepsilon\)-nál közerlebb van \(A-B\)-hez.

Közben alkalmaztuk a nyilvánvalóan igaz: \(\big|\text{ }x-y\text{ }\big| = \big|\text{ }y-x\text{ }\big|\) azonosságot.

Legyen \(a_n\) egy konvergens sorozat, \(\lim a_n = A\) és
\(b_n\) egy konvergens sorozat, \(\lim b_n = B\).
 
Állítás: A \(c_n:=a_n\cdot b_n\) sorozat is konvergens, és \(\lim c_n=A\cdot B\).

Ez egy kicsit zûrösebb. Elõször megmutatjuk, hogy ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos is.
Állítás: Ha \(x_n\) egy konvergens sorozat, akkor \(\exists W\in\mathbb R\) pozitív szám, amelyre:
\[\big|\text{ }x_n\text{ }\big|<W\]
Bizonyítás: Jelölje \(x_n\) határértékét \(X\). A konvergencia alapján az \(\varepsilon=1\) számhoz található olyan \(N\) küszöbindex, amelyre\[\big|\text{ }x_n-X\text{ }\big|<1\text{ , ha }n>N\]Ez azt jelenti, hogy a sorozat \(N\)-nél magasabb indexû tagjai mind az \(X\) egységsugarú környezetébe, vagyis az \((X-1;X+1)\) intervallumba esnek.

Az \((X-1;X+1)\)-on kívül így a sorozatnak csak véges sok eleme van: \(x_0, x_1, ...x_N\).

Az elsõ órán megmutattuk, hogy véges elemszámú halmaznak van maximuma. Így a következõ definíció értelmes:\[W:=1+\max\big\lbrace\big|X-1\big|;  \big|X+1\big|; \big|x_0\big|; \big|x_1\big|; ... \big|x_N\big|\big\rbrace\]E \(W\) számnál az \(x_n\) sorozat minden tagjának kisebb az abszolútértéke, hisz...

• ... ha \(n\le N\), akkor \(W\) legalább 1-gyel nagyobb az \(x_n\) abszolútértékénél;
• ... ha \(n>N\), akkor pedig \(x_n\in (X-1;X+1)\) és \(W\) az intervallum mindkét végpontjának abszolútértékénél legyalább 1-gyel nagyobb. (Ezt a jobb megértés végett érdemes lerajzolni.)

Térjünk most át eredeti állításunk igazolására, miszerint \(\lim c_n=A\cdot B\)

Adassék \(\varepsilon>0\) szám.

(1) Az \(b_n\) sorozat konvergens, így létezik olyan \(W>0\) szám, amelyre \(\big|b_n\big|<W\) minden \(n\in\mathbb N\)-re.

(2) Az \(a_n\) határértéke a \(A\) szám, így az \(\frac{\varepsilon}{2W}>0\) számhoz található olyan \(K\in\mathbb N\) küszöbindex, amelyre:
\[\big|\text{ }a_n-A\text{ }\big|<\frac{\varepsilon}{2W}\text{ , ha }n>K\]
(3) \(\lim b_n=B\), így az \(\frac{\varepsilon}{2|A|}>0\) számhoz található olyan \(M\in\mathbb N\) küszöbincex, amelyre:
\[\big|\text{ }b_n-B\text{ }\big|<\frac{\varepsilon}{2|A|}\text{ , ha }n>M\]
(4) Legyen \(N=\max(N,K)\). Erre a \(N\)re \(K\ge N\) és \(M\ge N\). Így ha \(n>N\), akkor egyszersmind \(a_n\)-re ill. \(b_n\)-re érvényesek a (2) ill. (3) alatti egyenlõtlenségek.

(5) Nézzük akkor \(c_n=a_n b_n\) eltérését az \(AB\)-tõl, az \(n>N\) feltétel mellett!
\begin{equation}
\begin{split}
\big|a_n b_n - AB\big| & = \big|a_n b_n - Ab_n+Ab_n-AB\big| = \big|b_n(a_n-A)+A(b_n-B)\big| \le\\
&\le \big|b_n(a_n-A)\big| + \big|A(b_n-B)\big| =\big|b_n\big|\big|a_n-A\big| + \big|A\big|\big|b_n-B\big| <\\
\text{Alkalmazzuk (2), (3)-at!}\\
&< \big|b_n\big|\frac{\varepsilon}{2W} + \big|A\big|\frac{\varepsilon}{2|A|} = \frac{\big|b_n\big|}W\frac{\varepsilon}2 + \frac{\varepsilon}2 <\\
\text{Mivel }\big|b_n\big|<W\text{, kapjuk:} \frac{\big|b_n\big|}{W}<1\text{:}\\
&< \frac{\varepsilon}2 + \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon
\end{split}
\end{equation}És ezt kellett igazolni.

Legyen \(a_n\) egy konvergens sorozat, \(\lim a_n = A\) és
\(b_n\) egy konvergens sorozat, \(\lim b_n = B\).
Legyen továbbá \(b_n\ne 0\), \(\forall n\in\mathbb N\) és \(B\ne 0\).
 
Állítás: A \[c_n:=\frac{a_n}{b_n}\]sorozat is konvergens, és \[\lim c_n=\frac{A}{B}\]

Ez még zûrösebb. Elõször megmutatjuk, hogy ha egy sorozat (\(b_n\) lesz az) konvergens, határértéke és minden tagja 0-tól különbözõ, akkor elszeparálható a 0-tól valamely fix \(delta>0\) számmal.
Állítás: Ha \(x_n\) egy konvergens sorozat, melynek minden tagja nemnulla, továbbá a határértéke sem 0, akkor \(\exists \delta>0\) szám, amelyre:
\[\big|\text{ }x_n\text{ }\big|>\delta\text{ , }\forall n\in\mathbb N\]
Bizonyítás: Jelölje \(x_n\) határértékét \(X\). A konvergencia alapján az \(\varepsilon=\frac{X}2\) számhoz található olyan \(L\) küszöbindex, amelyre\[\big|\text{ }x_n-X\text{ }\big|<\frac{X}2\text{ , ha }n>N\]Ez azt jelenti, hogy a sorozat \(L\)-nél magasabb indexû tagjai mind az \(X\) szám \(\frac{X}2\) sugarú környezetébe, vagyis az \(\left(\frac12 X;\frac32 X\right)\) intervallumba esnek. (Ez az intervallum, nem tartalmazza a 0-t, sõt minden eleme legalább \(\frac{X}2\) távolságra esik attól.)
Megjegyzés: Ha \(X<0\), akkor az intervallum határait fordított sorrendben kell írni, de ezen most ne akadjunk fenn.

Az \(\left(\frac12 X;\frac32 X\right)\)-on kívül így a sorozatnak csak véges sok eleme van: \(x_0, x_1, ...x_L\).

Az elsõ órán megmutattuk, hogy véges elemszámú halmaznak van minimuma. Így a következõ definíció értelmes:\[\delta:=\frac12\cdot\min\left\{\left|\frac{X}2\right|;  \big|x_0\big|; ... \big|x_L\big|\right\}\]E \(\delta\) egyrészt pozítív, hisz néhány pozitív szám közt a legkisebb. Másrészt e számnál az \(x_n\) sorozat minden tagjának nagyobb az abszolútértéke, hisz...

• ... ha \(n> N\), akkor \(x_n\in\left(\frac12 X;\frac32 X\right)\) és \(\delta < \frac{X}2\) miatt \(\left|x_n\right|>\frac{X}2>\delta\);
• ... ha \(n\le N\), akkor pedig \(\delta<\big|x_i\big|\) minden \(i=0; 1; ...; L\) estén.

Térjünk most át eredeti állításunk igazolására, miszerint \(\lim c_n=\frac{A}{B}\)

Adassék \(\varepsilon>0\) szám.

(1) Az \(b_n\) eleget tesz a feni állítás feltételének, így létezik olyan \(\delta>0\) szám, amelyre \(\big|b_n\big|>\delta\) minden \(n\in\mathbb N\)-re.
Más szavakkal ez azt jelenti, hogy
\begin{equation}
\begin{split}
\delta &< \big|b_n\big|\\
\frac{\delta}{\big|b_n\big|} &< 1\text{ , }\forall n\in\mathbb N
\end{split}
\end{equation}

(2) Az \(a_n\) határértéke a \(A\) szám, így az \(\frac{\varepsilon\delta}{2}>0\) számhoz található olyan \(K\in\mathbb N\) küszöbindex, amelyre:
\[\big|\text{ }a_n-A\text{ }\big|<\frac{\varepsilon\delta}{2}\text{ , ha }n>K\]
(3) \(\lim b_n=B\), így az \(\frac{\varepsilon\delta|B|}{2|A|}>0\) számhoz található olyan \(M\in\mathbb N\) küszöbincex, amelyre:
\[\big|\text{ }b_n-B\text{ }\big|<\frac{\varepsilon\delta|B|}{2|A|}\text{ , ha }n>M\]
(4) Legyen \(N=\max(N,K)\). Erre a \(N\)re \(K\ge N\) és \(M\ge N\). Így ha \(n>N\), akkor egyszersmind \(a_n\)-re ill. \(b_n\)-re érvényesek a (2) ill. (3) alatti egyenlõtlenségek.

(5) Nézzük akkor \(c_n=\frac{a_n}{b_n}\) eltérését az \(\frac{A}{B}\)-tõl, az \(n>N\) feltétel mellett!
\begin{equation}
\begin{split}
\left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| &= \left|\frac{a_nB-Ab_n}{b_n B}\right| = \left|\frac{a_nB-AB+AB-Ab_n}{Bb_n}\right| = \left| \frac{(a_n-A)B}{Bb_n} + \frac{A(B-b_n)}{Bb_n} \right| \le\\
&\le \left| \frac{(a_n-A)B}{Bb_n} \right| + \left| \frac{A(B-b_n)}{Bb_n} \right| = \frac{1}{\big|b_n\big|}\big|a_n-A\big| + \frac{\big|A\big|}{\big|B\big|\big|b_n\big|}\big|B-b_n\big| <\\
\text{(2), ill. (3) alapján:}\\
&< \frac1{\big|b_n\big|}\frac{\varepsilon\delta}{2} + \frac{\big|A\big|}{\big|B\big|\big|b_n\big|}\frac{\varepsilon\delta|B|}{2|A|} = \frac{\delta}{\big|b_n\big|}\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\delta}{\big|b_n\big|}\frac{\varepsilon}{2} <\\
\text{(1) alapján:}\\
&< 1\cdot\frac\varepsilon2 + 1\cdot\frac\varepsilon2 = \varepsilon
\end{split}
\end{equation}És ezt kellett igazolni.