1. feladat: Egy mértani sorozat elsõ és harmadik tagjának összege 25, a második és negyedik tag összege 50.
 
Melyik ez a sorozat?

A szöveg alapján a \(q\) kvóciensû \(a_n\) mértani sorozatról a következõket tudjuk:
\[\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & a_1+a_3 &=& 25\\
\text{(2)} & a_2+a_4 &=& 50\\\hline
\end{array}
\right\}
\]Írjuk be mindenhova az \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\) összefüggéseket:
\[
\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & a_1+a_1q^2 &=& 25\\
\text{(2)} & a_1 q+a_1 q^3 &=& 50\\\hline
\end{array}
\right\}\\
\]Emeljük ki bal oldalon, amit lehet:
\[
\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & a_1(1+q^2) &=& 25\\
\text{(2)} & a_1 q(1+q^2) &=& 50\\\hline
\end{array}
\right\}\\
\]
Osszuk el a (2) egyenletet az (1)-vel! (Az (1) egyenlet egyik oldala sem 0, mert 25.)
\[
\text{(2):(1)}\hphantom{00}q = 2
\]
Behelyettesítve az (1) egynletbe:
\begin{equation}
\begin{split}
a_1 + 2^2a_1 &= 25\\
5a_1 &= 25\\
a_1 &= 5
\end{split}
\end{equation}
Ellenõrzés: \(a_1=5\), \(q=2\), így a sorozat elsõ négy tagja: \(a_1=5\), \(a_2=10\), \(a_3=20\), \(a_4=40\).
Az elsõ és harmadik tag összege: \(a_1+a_3=5+20=25\) (Rendben.)
A második és negyedik tag összege: \(a_2+a_4=10+40=50\) (Rendben.)
 
Válasz: A keresett mértani sorozat: \(\mathbf{a_1=5}\) és \(\mathbf{q=2}\).

2. feladat: Italozó életmódot folytató útépító brigád utat aszfaltoz. Az út teljes hossza 7 km.
Az elsõ napon 800 m készül el. A második napon - életmódjuk következtében - csak az elõzõ napi teljesítményük 90%-ára képesek (azaz 800 · 0,9 = 720 m-t). És ez így megy tovább... minden nap az elõzõ napi teljesítményük 90%-át képesek elvégezni.
 
A) Hány nap alatt lesz kész az út?
 
B) Mennyi utat aszfaltoznak le az utolsó napon?
 
C^*) Csak az emelt szintre készülõknek: A vázolt teljesítményük (tehát 1. nap 800 m, aztán minden további nap az elõzõ napi 90%-a) mellett mekkora az a maximális úthossz, amelyet ez a részeges brigád (az idõk végezetéig dolgozva) le tud aszfaltozni?

A) Az elkészített útszakaszok mértani sorozatot alkotnak: \(a_1=800\), \(q=0{,}9\) (méterben mérve).
 
A feladat feltétele szerint keressük azt a legkisebb \(n\in\mathbb N\) számot, amelyre a sorozat elsõ \(n\) tagjának összege 7000 m vagy annál nagyobb:
\begin{equation}
\begin{split}
S_n &\ge 7000\\\\
a_1\frac{q^n-1}{q-1} &\ge 7000\\\\
800\cdot\frac{0{,}9^n-1}{0{,}9-1} &\ge 7000\\\\
800\cdot\frac{0{,}9^n-1}{-0{,}1} &\ge 7000\hphantom{000}&\big/\,\cdot(-0{,}1)\hphantom{00}:800\text{ (A negítív szorzó megfordítja a rel. jelet.)}\\\\
0{,}9^n-1 &\le -0{,}875 &\big/\,+1\\\\
0{,}9^n &\le 0{,}125 &\big/\,\log_{0{,}9}(\cdot)\text{, ami szog. mon. fogyó}\\\\
n &\ge 19{,}74
\end{split}
\end{equation}
Válasz az A) kérdésre: Az út a 20 nap alatt készül el.
 
 
B) A 20. napon már kevesebbet aszfaltoznak, mint a sorozat 20. tagja: pontosan annyit, amennyi a teljes út és az elsõ 19 nap összteljesítményének különbsége:
\[
7000-S_19 = 7000 - a_1\tfrac{q^{19}-1}{q-1} = 7000 - 800\cdot\tfrac{0{,}9^19-1}{0{,}9-1} = 7000 - 6919 = 81
\]
Válasz a B) kérdésre: Az utolsó (20.) napon 81 m utat aszfaltozott a brigád.
 
 
C) Ha a brigád az idõk végezetéig aszfaltoz, akkor a teljes munkájuk az alábbi végtelen mértani sor összege:
\[
S = \sum_{n=0}^{\infty}a_1q^n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \ldots
\]A sor konvergens, mert \(|q|<1\). \((q=0{,}9)\)
A sor összege:
\[
S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{800}{1-0{,}9} = 8000
\]
Válasz a C) kérdésre: Az idõk végezetéig aszfaltozva a brigád maximum 8000 m utat aszfaltozna le.