18. óra HF.: I. Középszintû érettségi gyakorlat (I. rész)
A megoldás dobozára kattintva a megoldás eltûnik, a feladat dobozára kattintva a megoldás újra megjelenik.
1.
feladat: Sorolja fel 2018-nak mindazokat a pozitív osztóit,
amelyek prímszámok!
(2 pont)
Egy
lehetséges megoldás: Bontsuk prímtényezõkre a 2018-at!
\[
\begin{array}{r|l}
2018 & 2\\
1009 & 1009\\
1
\end{array}
\]2018 = 2\cdot 1009
Válasz: 2018 prímosztói: 2 és 1009.
\[
\begin{array}{r|l}
2018 & 2\\
1009 & 1009\\
1
\end{array}
\]2018 = 2\cdot 1009
Válasz: 2018 prímosztói: 2 és 1009.
2. feladat: Oldja meg az alábi egyenlõtlenséget a valós
számok halmazán:
\[
x^2-16<0
\]
\[
x^2-16<0
\]
(2 pont)
Egy
lehetséges megoldás:
\begin{equation}
\begin{split}
x^2-16 &<0\\
x^2&<16\hphantom{0000000000000}\big/\,\sqrt{\cdot}\\
\big|\,x\,\big|&<4\\
\end{split}
\end{equation}
Megoldás: \(\color{darkred}{\mathbf{-4<x<4}}\), vagy \(\color{darkred}{\mathbf{x\in\big]-4;4\big[}}\)
\begin{equation}
\begin{split}
x^2-16 &<0\\
x^2&<16\hphantom{0000000000000}\big/\,\sqrt{\cdot}\\
\big|\,x\,\big|&<4\\
\end{split}
\end{equation}
Megoldás: \(\color{darkred}{\mathbf{-4<x<4}}\), vagy \(\color{darkred}{\mathbf{x\in\big]-4;4\big[}}\)
3. feladat: Az alábbi táblázat egy 7 fõs csoport
tagjainak cm-ben mért magasságait tartalmazza. Mekkora a csoport
átlagmagassága? A csoport melyik tagjának a magassága van legközelebb az
átlagmagassághoz?
(2+1 pont)
| Anna | Bea | Marci | Karcsi | Ede | Fanni | Gábor |
| 155 | 158 | 168 | 170 | 170 | 174 | 183 |
(2+1 pont)
Egy
lehetséges megoldás:
Az átlag:
\[
\frac{155+158+168+170+170+174+183}{7}=\frac{1178}{7}=\color{darkred}{\mathbf{168{,}3}}
\]
Válasz a 2. kérdésre: Marci magassága van a legközelebb az átlaghoz.
Az átlag:
\[
\frac{155+158+168+170+170+174+183}{7}=\frac{1178}{7}=\color{darkred}{\mathbf{168{,}3}}
\]
Válasz a 2. kérdésre: Marci magassága van a legközelebb az átlaghoz.
4.
feladat: Az \(\mathbb R^+\rightarrow\mathbb R\), \(x\mapsto
3+\log_2x\) függvény az alábbiak közül melyikkel azonos?
A) \(\mathbb R^+\rightarrow\mathbb R\), \(x\mapsto 3\log_2x\)
B) \(\mathbb R^+\rightarrow\mathbb R\), \(x\mapsto \log_2(8x)\)
C) \(\mathbb R^+\rightarrow\mathbb R\), \(x\mapsto \log_2(3x)\)
D) \(\mathbb R^+\rightarrow\mathbb R\), \(x\mapsto \log_2\left(x^3\right)\)
A) \(\mathbb R^+\rightarrow\mathbb R\), \(x\mapsto 3\log_2x\)
B) \(\mathbb R^+\rightarrow\mathbb R\), \(x\mapsto \log_2(8x)\)
C) \(\mathbb R^+\rightarrow\mathbb R\), \(x\mapsto \log_2(3x)\)
D) \(\mathbb R^+\rightarrow\mathbb R\), \(x\mapsto \log_2\left(x^3\right)\)
(2 pont)
Egy
lehetséges megoldás:
\[
3+\log_2x=\log_28+\log_2x=\log_2(8x)
\]A helyes válasz a B.
\[
3+\log_2x=\log_28+\log_2x=\log_2(8x)
\]A helyes válasz a B.
5.
feladat: Annának kedden 5 órája van, mégpedig matematika (M),
német (N), testnevelés (T), angol (A) és biológia (B). Tudjuk, hogy a
matematikaórát testnevelés követi, és az utolsó óra német. Írja le Anna
keddi órarendjének összes lehetõségét!
(2 pont)
Egy
lehetséges megoldás:
- az utolsó óra: német (N, feketével),
- a matematika és a tesi ebben a sorrendben követi egymást (MT, fehérrel).
A másik két óra (A és B) mind a két lehetséges sorrendben lehet a megmaradó két helyen.
Anna lehetséges órarendjei:
Annának 6 lehetséges órarendje van.
- az utolsó óra: német (N, feketével),
- a matematika és a tesi ebben a sorrendben követi egymást (MT, fehérrel).
A másik két óra (A és B) mind a két lehetséges sorrendben lehet a megmaradó két helyen.
Anna lehetséges órarendjei:
| 1. óra | M | M | A | B | A | B |
| 2. óra | T | T | M | M | B | A |
| 3. óra | A | B | T | T | M | M |
| 4. óra | B | A | B | A | T | T |
| 5. óra | N |
N |
N |
N |
N |
N |
Annának 6 lehetséges órarendje van.
6. feladat: Egy egyenlõ szárú háromszög alapja 5 cm, a
szára 6 cm hosszú. Hány fokosak a háromszög alapon fekvõ szögei?
A szögek nagyságát egész fokra kerekítve adja meg!
Válaszát indokolja!
A szögek nagyságát egész fokra kerekítve adja meg!
Válaszát indokolja!
(2+1 pont)
Egy
lehetséges megoldás:
 |
(1)
Húzzuk meg a háromszög 5 cm-es alapjához tartozó AT
magasságát! (2) Ez merõlegesen felezi az 5 cm-es oldalt, mert a háromszög egyenlõszárú. (3) Az ACT derékszügû háromszögben: \begin{equation} \begin{split} \cos \gamma &= \tfrac{2{,}5}{6} = 0{,}4167\\ \gamma &=65{,}38^\circ \end{split} \end{equation} Válasz: a háromszög alapon fekvõ szögei 65°-osak. |
7. feladat: Az ábrán látható hatpontú gráfba rajzoljon
be 2 élt úgy, hogy a kapott gráf minden csúcsa másodfokú legyen! (Minden
csúcsából 2 él induljon ki!) A berajzolt éleket két végpontjukkal adja
meg!
(2 pont)
Válasz:
Az AD és AF
éleket kell behúzni.
8.
feladat: Az alábbi kilenc szám közül hányféleképpen
választhatunk ki kettõt úgy, hogy a kiválasztott két szám szorzata
negatív legyen?
–3,5; –5; 6; 8,4; 0; –2,5; 4; 12; –11.
–3,5; –5; 6; 8,4; 0; –2,5; 4; 12; –11.
(2 pont)
Megoldás:
(1) A szorzat akkor negatív, ha a tényezõk egyike pozitív, a másik negatív.
(2) A megadott számok közt 4 db pozitív és 4 db negatív van.
Válasz: a lehetséges párok száma: 4 · 4 = 16.
(1) A szorzat akkor negatív, ha a tényezõk egyike pozitív, a másik negatív.
(2) A megadott számok közt 4 db pozitív és 4 db negatív van.
Válasz: a lehetséges párok száma: 4 · 4 = 16.
9.
feladat: Oldja meg a valós számok halmazán a
\(\cos x = 0\) egyenletet, ha \(\color{white}{-2\pi} \le x \le 2 \pi\) ?
(Az alsó határt utólag - az eredeti feladatnak megfelelõen - átírtam. Aki az ezt megelõzõek alapján értelmezte a feladatot, az is megkapja az érte járó pontot.)
\(\cos x = 0\) egyenletet, ha \(\color{white}{-2\pi} \le x \le 2 \pi\) ?
(Az alsó határt utólag - az eredeti feladatnak megfelelõen - átírtam. Aki az ezt megelõzõek alapján értelmezte a feladatot, az is megkapja az érte járó pontot.)
(3 pont)
Egy
lehetséges megoldás:
Ábrázoljuk a koszinusz-függvényt (kiemelve a \([-2\pi;2\pi]\) intervallumot)!
Válasz: Az ábráról leolvasható, hogy az egyenlet megfelelõ megoldásai: \(\color{darkred}{\mathbf{-\frac32\pi;\,-\frac{\pi}2;\,\frac{\pi}2;\,\frac32\pi}}\)
Ábrázoljuk a koszinusz-függvényt (kiemelve a \([-2\pi;2\pi]\) intervallumot)!
Válasz: Az ábráról leolvasható, hogy az egyenlet megfelelõ megoldásai: \(\color{darkred}{\mathbf{-\frac32\pi;\,-\frac{\pi}2;\,\frac{\pi}2;\,\frac32\pi}}\)
10. feladat: Döntse el az alábbi négy állításról, hogy
melyik igaz, illetve hamis!
A) Van olyan derékszögû háromszög, amelyben az egyik hegyesszög szinusza \(\frac12\).
B) Ha egy háromszög egyik hegyesszögének szinusza \(\frac12\), akkor a háromszög derékszögû.
C) A derékszögû háromszögnek van olyan szöge, amelynek nincs tangense.
D) A derékszögû háromszögek bármelyik szögének értelmezzük a koszinuszát.
A) Van olyan derékszögû háromszög, amelyben az egyik hegyesszög szinusza \(\frac12\).
B) Ha egy háromszög egyik hegyesszögének szinusza \(\frac12\), akkor a háromszög derékszögû.
C) A derékszögû háromszögnek van olyan szöge, amelynek nincs tangense.
D) A derékszögû háromszögek bármelyik szögének értelmezzük a koszinuszát.
(1+1+1+1 pont)
Megoldás
(Indoklást csak tájékoztatásul írtam, a feladat nem kérte):
A) Igaz (mert \(\sin 30^\circ=\frac12\), és \(30^\circ\)-os szög lehet egy derékszögû háromszögben).
B) Hamis (mert egy háromszögben lehet úgy is \(30^\circ\)-os szög, hogy derékszög nincs).
C) Igaz (mert pont a derékszög az, amelynek nincs tangense: \(\text{ tg}90^\circ\) értelmetlen).
D) Igaz (hisz' minden szögnek van koszinusza).
A) Igaz (mert \(\sin 30^\circ=\frac12\), és \(30^\circ\)-os szög lehet egy derékszögû háromszögben).
B) Hamis (mert egy háromszögben lehet úgy is \(30^\circ\)-os szög, hogy derékszög nincs).
C) Igaz (mert pont a derékszög az, amelynek nincs tangense: \(\text{ tg}90^\circ\) értelmetlen).
D) Igaz (hisz' minden szögnek van koszinusza).
11. feladat: Adott az \(e:2x+y=1\) egyenes. Mennyi
legyen \(a\) értéke, hogy az \(f:x+ay=1\) egyenletû egyenes merõleges
legyen \(e\)-re?
Válaszát indokolja!
Válaszát indokolja!
(2+1 pont)
Egy
lehetséges megoldás:
Az \(e\) egyenes eg normálvektora? \(n_e=(2;1)\). Erre merõleges pl. az \((1;-2)\).
Ha tehát meg tudjuk úgy választani \(a\) értékét, hogy az \(f\) egyenes normálvektora \(1;2\) legyen, akkor a feladatot megoldottuk.
Ez lehetséges, ha
Válasz: a = -2.
Az \(e\) egyenes eg normálvektora? \(n_e=(2;1)\). Erre merõleges pl. az \((1;-2)\).
Ha tehát meg tudjuk úgy választani \(a\) értékét, hogy az \(f\) egyenes normálvektora \(1;2\) legyen, akkor a feladatot megoldottuk.
Ez lehetséges, ha
Válasz: a = -2.
12.
feladat: Egy téglatest oldalai 2, 3 és 5 cm hosszúak. Mekkora
a testátlója?
Válaszált cm-ben, két tizedesjegy pontosan adja meg!
Válaszált cm-ben, két tizedesjegy pontosan adja meg!
(2 pont)
Egy
lehetséges megoldás:
A téglatest testátlója a Pitagorasz-tétel kétszeri alkalmazásával:
\[
\text{átló} = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\hphantom{000}\text{, ahol }a,b,c\text{ a téglatest három különbözõ éle.}
\]
Válasz: A téglatest testátlója \(\sqrt{2^2+3^2+5^2}=\color{darkred}{6{,}16\,\text{cm}}\).
A téglatest testátlója a Pitagorasz-tétel kétszeri alkalmazásával:
\[
\text{átló} = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\hphantom{000}\text{, ahol }a,b,c\text{ a téglatest három különbözõ éle.}
\]
Válasz: A téglatest testátlója \(\sqrt{2^2+3^2+5^2}=\color{darkred}{6{,}16\,\text{cm}}\).
