77. óra, gyakorlat: Kombinatorika, valószínûségszámítás
1. feladat: Egy
középiskolába 700 tanuló jár. Közülük 10% sportol rendszeresen a két
iskolai szakosztály közül legalább az egyikben. Az atlétika
szakosztályban 36 tanuló sportol rendszeresen, és pontosan 22 olyan diák
van, aki az atlétika és a kosárlabda szakosztály munkájában is részt
vesz.
A) Hányan sportolnak a kosárlabda szakosztályban?
B) Két tanulót véletlenszerûen kiválasztva (az iskola diákjai közül) mekkora az esélye annak, hogy legalább az egyikük sportol a két iskolai szakosztály valamelyikében?
A) Hányan sportolnak a kosárlabda szakosztályban?
(4 pont)
B) Két tanulót véletlenszerûen kiválasztva (az iskola diákjai közül) mekkora az esélye annak, hogy legalább az egyikük sportol a két iskolai szakosztály valamelyikében?
(4 pont)
Pontozás (fenn van): (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
A)
36 atlétából 22 kosarazik is, tehát 14-en csak atletizálnak. | 1 pont |
70 tanuló sportol összesen, tehát 34 fõ csak kosarazik. | 2 pont |
22 + 34 = 56 tanuló kosarazik. | 1 pont |
Összesen: | 4 pont |
B)
700 diák közül választunk kettõt,
az összes lehetõség: \(\binom{700}{2}\) |
1 pont |
Ha egyikük sem sportol, akkor a 630
nem sportoló közül választottuk õket. A lehetõségek száma: \(\binom{630}{2}\) |
1 pont |
Egyikük sem sportol \(\frac{\binom{630}{2}}{\binom{700}{2}}\approx0{,}8099\) eséllyel. | 1 pont |
Legalább az egyikük sportol \(1-0{,}8099 = 0{,}1901\) valószínûséggel. | 1 pont |
Összesen: |
4
pont |
2. feladat: Egy
öttagú társaság egymás után lép be egy ajtón. Mekkora a valószínûsége,
hogy Anna, a társaság egyik tagja, elsõnek lép be az ajtón?
(2 pont)
Pontozás (fenn van): (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Anna \(\frac15\) valószínûséggel lép be elsõnek. | 2 pont |
Összesen: |
2
pont |
3. feladat: Egy
televíziós játékban 5 kérdést tehet fel a játékvezetõ. A játék során a
versenyzõ, ha az elsõ kérdésre jól válaszol, 40 000 forintot nyer.
Minden további kérdés esetén döntenie kell, hogy a játékban addig
megszerzett pénzének 50, 75 vagy 100 százalékát teszi-e fel. Ha jól
válaszol, feltett pénzének kétszeresét kapja vissza, ha hibázik, abba
kell hagynia a játékot, és a fel nem tett pénzét viheti haza.
A) Mennyi pénzt visz haza az a játékos, aki mind az öt feltett kérdésre jól válaszol, s bátran kockáztatva mindig a legnagyobb tétet teszi meg?
B) Az a játékos, aki mindig helyesen válaszol, de óvatos, és a négy utolsó fordulóban pénzének csak 50%-át teszi fel, hány forintot visz haza?
C) A vetélkedõ során az egyik versenyzõ az elsõ négy kérdésre jól válaszolt. A második kérdésnél a pénzének 100 %-át, a 3., 4. és 5. kérdés esetén pénzének 75%-át tette fel. Az 5. kérdésre sajnos rosszul válaszolt. Hány forintot vihetett haza ez a játékos?
D) Egy versenyzõ mind az 5 fordulóban jól válaszol, és közben minden fordulóban azonos eséllyel teszi meg a játékban megengedett lehetõségek valamelyikét. Mennyi annak a valószínûsége, hogy az elnyerhetõ maximális pénzt viheti haza?
A) Mennyi pénzt visz haza az a játékos, aki mind az öt feltett kérdésre jól válaszol, s bátran kockáztatva mindig a legnagyobb tétet teszi meg?
(4 pont)
B) Az a játékos, aki mindig helyesen válaszol, de óvatos, és a négy utolsó fordulóban pénzének csak 50%-át teszi fel, hány forintot visz haza?
(4 pont)
C) A vetélkedõ során az egyik versenyzõ az elsõ négy kérdésre jól válaszolt. A második kérdésnél a pénzének 100 %-át, a 3., 4. és 5. kérdés esetén pénzének 75%-át tette fel. Az 5. kérdésre sajnos rosszul válaszolt. Hány forintot vihetett haza ez a játékos?
(5 pont)
D) Egy versenyzõ mind az 5 fordulóban jól válaszol, és közben minden fordulóban azonos eséllyel teszi meg a játékban megengedett lehetõségek valamelyikét. Mennyi annak a valószínûsége, hogy az elnyerhetõ maximális pénzt viheti haza?
(4 pont)
Pontozás (fenn van): (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
A) 1. megoldás:
Megjegyzés: a 2. fordulótól soronként 1-1 pont. Bármilyen logikusan
felépített, helyes megjelenítés elfogadható.
A) 2. megoldás:
B) 1. megoldás:
Megjegyzés: a 2. fordulótól soronként 1-1 pont. Bármilyen logikusan
felépített, helyes megjelenítés elfogadható.
B) 2. megoldás:
C) 1. megoldás:
Megjegyzés: a 2. fordulótól soronként 1-1 pont. Bármilyen logikusan
felépített, helyes megjelenítés elfogadható.
C) 2. megoldás:
D) 1. megoldás:
D) 2. megoldás:
Foglaljuk táblázatba az egyes fordulókban megtett téteket és a
nyereményeket: A bátor versenyzõ 640 000 Ft-ot
nyerhet, ha minden fordulóban jól válaszol.
|
4 pont |
Összesen: |
4
pont |
A) 2. megoldás:
Az elsõ nyereménye 40 000 forint, a
további négy fordulóban a pénze mindig megduplázódik, így a
végén \(40\,000\cdot2^4 = 640\,000\) forint a nyeremény. |
4 pont |
Összesen: |
4
pont |
B) 1. megoldás:
|
4 pont |
Összesen: |
4
pont |
B) 2. megoldás:
Az elsõ nyereménye 40 000 forint, a
további négy fordulóban a pénze mindig másfélszerezõdik, így a
végén \(40\,000\cdot2ó1{,}5^4 = 202\,500\) forint a nyeremény. |
4 pont |
Összesen: |
4
pont |
C) 1. megoldás:
|
5 pont |
Összesen: |
5
pont |
C) 2. megoldás:
Az elsõ nyereménye 40 000 forint, a
további négy forduló végére \(40\,000\cdot2^1\cdot1{,}75^2\cdot
0{,}25 = 60\,250\) forint a nyeremény. |
5 pont |
Összesen: |
5
pont |
D) 1. megoldás:
A kockáztatás 4 fordulón keresztül történik, és a játékos minden fordulóban \(\frac13\) valószínûséggel vállal 100%-ot. | 1 pont |
A maximális nyereményhez jutás valószínûsége: \(\left(\frac13\right)^4 = \frac1{81}\approx0{,}012\) | 3 pont |
Összesen: |
4
pont |
D) 2. megoldás:
Az összes esetek száma a 4 utolsó fordulóban \(3^4 = 81\) | 2 pont |
A kedvezõ esetek száma 1. | 1 pont |
A keresett valószínûség (a klasszikus modell szerint): \(\frac1{81}\approx0{,}012\) | 1 pont |
Összesen: |
4
pont |
4. feladat: A 100-nál
kisebb és hattal osztható pozitív egész számok közül véletlenszerûen
választunk egyet. Mekkora valószínûséggel lesz ez a szám 8-cal osztható?
Írja le a megoldás menetét!
(3 pont)
Pontozás (fenn van): (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Összesen 16 db hattal osztható szám van a megadott tartományban, közülük 4 db osztható 8-cal. | 2 pont |
A valószínûség: \(\frac4{16}(=25\%)\). | 1 pont |
Összesen: |
3
pont |