1. feladat: Egy számtani sorozat tagjai között az alábbi összefüggések állnak fenn:
\[\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & a_5+a_6+a_7 &=& 72\\
\text{(2)} & a_{10}+a_{11}+a_{12} &=& 87\\\hline
\end{array}
\right\}
\]Adja meg a sorozat elsõ tagját és differenciáját!

Írjuk be a tagok helyére a számtani sorozat tagjaira érvényes \(a_n=a_1+(n-1)d\) összefüggéseket:
\[\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & a_1+4d+a_1+5d+a_1+6d &=& 72\\
\text{(2)} & a_1+9d+a_1+10d+a_1+11d &=& 87\\\hline
\end{array}
\right\}
\]
\[\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & 3a_1+15d &=& 72\\
\text{(2)} & 3a_1+30d &=& 87\\\hline
\end{array}
\right\}
\]A (2) egyenletbõl vonjuk ki az (1)-t:
\begin{equation}
\begin{split}
15d &= 15\\
d &= 1
\end{split}
\end{equation}Behelyettesítve az (1) egyenletbe (annak 2. állapotánál):
\begin{equation}
\begin{split}
3a_1 + 15\cdot 1 &=72\hphantom{000}&\big/\,-15\\
3a_1 &= 57 &\big/\,:3\\
a_1 &= 19
\end{split}
\end{equation}
Ellenõrzés: A sorozat \(\left(a_1=19,\,d=1\right)\) megfelelõ tagjai:
\(a_5=19+4=23\), \(a_6=19+5=24\), \(a_7=19+6=25\). Ezek összege: \(23+24+25=72\). (Rendben.)
\(a_{10}=19+9=28\), \(a_{11}=19+10=29\), \(a_{12}=19+11=30\). Ezek összege: \(28+29+30=87\). (Rendben.)
 
Válasz: \(\mathbf{a_1=19}\), \(\mathbf{d=1}\).

2. feladat: Egy számtani sorozat elsõ tagja 100, a hatodik tagja egyenlõ a sorozat differenciájával.
Adja meg a sorozat második tagját!

\(a_1=100\), keressük meg a sorozat differenciáját!
A második feltétel szerint:
\begin{equation}
\begin{split}
a_6 &= d\\
a_1 + 5d = d\\
100 + 5d &= d\\
100 &= -4d\\
-25 &= d
\end{split}
\end{equation}
Ellenõrzés: \(a_6=a_1+5d = 100-125 = -25 = d\). (Rendben.)
 
Válasz: A sorozat második tagja \(\mathbf{a_2} = a_1+d = 100-25 = \mathbf{75}\).

3. feladat: Egy számtani sorozat elsõ öt tagjának összege 65, a következõ öt tag összege 215. Melyik
ez a sorozat?

\[\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 &=& 65\\
\text{(2)} & a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10} &=& 215\\\hline
\end{array}
\right\}
\]Beírva a számtani sorozatra érvényes \(a_n=a_1+(n-1)d\)összeföggéseket:
\[\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & a_1+a_1+d+a_1+2d+a_1+3d+a_1+4d &=& 65\\
\text{(2)} & a_1+5d+a_1+6d+a_1+7d+a_1+8d+a_1+9d &=& 215\\\hline
\end{array}
\right\}
\]
\[\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & 5a_1+10d &=& 65\\
\text{(2)} & 5a_1+35d &=& 215\\\hline
\end{array}
\right\}
\]Vonjuk ki a (2) egyenletbõl az (1)-t:
\begin{equation}
\begin{split}
25d &= 150\\
d &= 6
\end{split}
\end{equation}Beírva az (1) egyenlet utolsó verziójába:
\begin{equation}
\begin{split}
5a_1 + 10\cdot 6 &= 65\\
5a_1 &= 5\\
a_1 &= 1
\end{split}
\end{equation}
Ellenõrzés: Az \(a_1=1\), \(d=6\) paraméterû számtani sorozat tagjai:
\[
\underbrace{1; 7;13; 19; 25}_{\sum = 65}; \underbrace{31; 37; 43; 49; 55; 61}_{\sum = 215}; \ldots
\]Rendben!
 
Válasz: A sorozat kezdõtagja \(\mathbf{a_1=1}\), differenciája \(\mathbf{d=6}\).

4. feladat: Egy színházi nézõtéren 30 sor van. Minden sorban kettõvel többen férnek el, mint az elõzõben. Hány ember fér el a nézõtéren, ha a 15. sorban 50 férõhely van?

A széksorok férõhelyszáma számtani sorozatot alkot: \(n=30\), \(d=2\), \(a_{15}=50\). \(S_{30}=\text{ ?}\)
 
Számítsuk ki \(a_1\)-et: \(a_1 = a_{15}-14d = 50-14\cdot2 = 22\).
Aztán \(a_{30}\)-at: \(a_{30}=a_1+29d = 22+29\cdot2=80\).

Az elsõ 30 tag összege: \(S_n=\frac{a_1+a_{30}}2 \cdot30 = \frac{22+80}2\cdot 30 = 1530\).
 
Válasz: A nézõtéren 1530 hely van.

5. feladat: Mennyi azoknak a 100 és 500 közé esõ egész számoknak az összege, amelyek 5-tel osztva 3-at adnak maradékul?

Ezek a számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája: \(d=5\).
A legkisebb ilyen szám: \(a_1=103\).
A legnagyobb ilyen szám: \(a_n=498\).
 
A tagok száma, \(n\):
\begin{equation}
\begin{split}
a_n &= a_1+(n-1)d\\
498 &= 103 + (n-1)5\hphantom{000}&\big/\,-103\\
395 &= 5(n-1)\\
79 &= n-1\\
80 &= n
\end{split}
\end{equation}
A tagok összege: \(S_{80}=\frac{a_1+a_{80}}2\cdot80=\frac{103+498}2\cdot80=24\,040\).
 
Válasz: A kérdéses összeg 24 040.

6. feladat: Egy számtani sorozat elsõ 10 tagjának összege feleakkora, mint a következõ 10 tag összege.
Az elsõ 15 tag összege 375. Melyik ez a sorozat?

Az elsõ10 tag összege \(a_1\)-gyel és \(d\)-vel kifejezve:
\[
S_{10} = \frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10 = \frac{a_1+a_1+9d}{2}\cdot 10 = \left(2a_1+9d\right)\cdot 5 = 10a_1+45d
\]A következõ 10 tag összege:
\[
S_{11-20} = \frac{a_{11}+a_{20}}{2}\cdot 10 = \frac{a_1+10d+a_1+19d}{2}\cdot 10 = \left(2a_1+29d\right)\cdot 5 = 10a_1+145d
\]Így az (1) egyenlet:
\[
\text{(1)}\hphantom{00}10a_1+45d = \frac{10a_1+145d}2
\]
Az elsõ 15 tag összege:
\[
S_{15} = \frac{a_1+a_{15}}{2}\cdot 15 = \frac{a_1+a_1+14d}{2}\cdot 15 = \frac{2a_1+14d}{2} = (a_1+7d)\cdot15 = 15a_1+105d
\]A (2) egyenlet:
\[
\text{(2)}\hphantom{00}15a_1+105d = 375
\]
Megoldandó az alábbi egyenletrendszer:
\[\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & 10a_1+45d &=& \frac{10a_1+145d}2\\
\text{(2)} & 15a_1+105d &=& 375\\\hline
\end{array}
\right\}
\]Az (1) egyenletet szorozzuk 2-vel, a másodikat osszuk 15-tel:
\[\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & 20a_1+90d &=& 10a_1+145d\\
\text{(2)} & a_1+7d &=& 25\\\hline
\end{array}
\right\}
\]
\[\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & 10a_1-55d &=& 0\\
\text{(2)} & a_1+7d &=& 25\\\hline
\end{array}
\right\}
\]Az elsõ egyenletet osszuk el 5-tel, a másodikat szorozzuk 2-vel:
\[\left.
\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & 2a_1-11d &=& 0\\
\text{(2)} & 2a_1+14d &=& 50\\\hline
\end{array}
\right\}
\]A (2) és az (1) egyenlet különbsége ((2)-(1)):
\begin{equation}
\begin{split}
25d &= 50\\
d &= 2
\end{split}
\end{equation}Ezt beírva az (1) egyenlet legutolsó verziójába:
\begin{equation}
\begin{split}
2a_1-11\cdot2 &=0\\
2a_1 &= 22\\
a_1 &= 11
\end{split}
\end{equation}
Ellenõrzés: \(a_1=11\), \(d=2\).
A sorozat elsõ 10 tagjának összge: \(\frac{a_1+a_{10}}2\cdot10 = \frac{11+11+9\cdot2}2\cdot10=200\).
A következõ 10 tag összege: \(\frac{a_{11}+a_{20}}2\cdot10 = \frac{11+10\cdot2+11+19\cdot2}2\cdot10=400\).
Eddig rendben.
Az elsõ 15 tag összege: \(\frac{a_1+a_{15}}2\cdot15 = \frac{11+11+14\cdot2}2\cdot15=375\). Rendben!
 
Válasz: A sorozat kezdõtagja \(\mathbf{a_1=11}\), differenciája \(\mathbf{d=2}\).