37. óra: Binomiális eloszlás

Alapfeladat: Adott egy \(p\) valószínûségû esemény, \(0<p<1\). Ezt egymástól függetlenül \(n\)-szer megismételjük (\(n\in\mathbb N\)), és vizsgáljuk, hogy hányszor következik be.

Ez egy diszkrét valószínûségi eloszlás, jelölhetjük \(B_n^p\)-vel, mert eseményterünk:
\[
E=\lbrace 0; 1;2;\ldots ;n\rbrace,
\]hiszen \(n\) független kísérletbõl 0-szor, 1-szer, ..., \(n\)-szer eshet meg az általunk vizsgált esemény.

A Binomiális eloszlás képlete

Nézzünk elõször egy példát! Legyen az esemény az, hogy szabályos dobókockával hatost dobunk: \(p=\frac16\).

Dobjunk a kockával 10-szer: \(n=10\).

Legyünk kíváncsiak arra, hogy mekkora valószínûséggel fogunk pontosan 7-szer hatost dobni: \(k=7\).

Egy 10-hosszú dobássorozat, melyben pontosan 7 db hatos van, kb. így néz ki:
\[
\odot\otimes\odot\odot\otimes\odot\odot\odot\otimes\odot \hphantom{00000000000}(\odot\text{ jelöli a hatost, }\otimes\text{ a nem hatost})
\]A fenti konkrét esemény valószínûsége a függetlenség alapján:
\[
\frac16\cdot\frac56\cdot\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56\cdot\frac16\cdot\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56\cdot\frac16 = \left(\frac16\right)^7\cdot\left(\frac56\right)^3
\](Független események együttes bekövetkezésének vszg.-e a vszg.-ek szorzata.)

Persze nem csak így következhet be pontosan 7-szer, hanem pl. így is:
\[
\otimes\odot\odot\odot\otimes\odot\otimes\odot\odot\odot
\]És még sokféleképp. Pontosan annyiféleképp, ahányféleképpen a 10 helyre 7 különbözõ helyen elhelyezhetõ a \(\odot\) szimbólum, vagyis
\[\binom{10}7\text{-féleképp}\]
Mindegyiknek ugyanannyi a valószínûsége: \(\left(\frac16\right)^7\cdot\left(\frac56\right)^3\).

Így a keresett valószínûség:
\[
B_{10}^{\frac16}(7) = \binom{10}7\left(\frac16\right)^7\left(\frac56\right)^3
\]

Általában, \(0<p<1\), \(n\in\mathbb N\), \(k\in\mathbb N\) esetén:

Indoklásul a fentebbihez hasonló gondolatmenetet mondhatjuk el a \(p\), \(n\) és \(k\) betûkkel (általános alanyokkal).