79. óra: A Binomiális eloszlás várható értéke
Elõbb egy kis emlékeztetõ...
Ha \(E\) véges részhalmaza \(\mathbb R\)-nek: \(E=\lbrace x_0,x_1,\ldots,x_n\rbrace\), akkor az \(X\) várható értéke a
\[
M(X) = \sum_{i=0}^n{x_i\cdot P(X=x_i)}
\]
Ha \(E\) megszámlálhatóan végtelen részhalmaza \(\mathbb R\)-nek: \(E=\lbrace x_0,x_1,\ldots,x_n,\ldots\rbrace\), akkor az \(X\) várható értéke a
\[
M(X) = \sum_{i=0}^\infty{x_i\cdot P(X=x_i)}
\]ha egyáltalán létezik ez az összeg. (Ha nem létezik, akkor nincs várható érték. De az elég gáz.)
Megjegyzés: a várható érték azt próbálja kifejezni, hogy ha a megfelelõ kísérletet igen sokszor végezzük el, és a sok-sok kimenetelt átlagoljuk, akkor mennyi 'lesz' ez az átlag. (Nagyjából mi várható.)
Például (ism): Ha egy szabályos dobókockával
dobunk (ez egy \(X\)-szel jelölhetõ diszkrét valószínûségi változó),
akkor
\begin{equation}
\begin{split}
\text{az eseménytér:}\\
E &= \lbrace 1;2;3;4;5;6\rbrace\\\\
\text{az eloszlás:}\\
\frac16;&\frac16;\frac16;\frac16;\frac16;\frac16\\\\
\text{A várható érték:}\\
V(X) &= 1\cdot\frac16 + 2\cdot\frac16 + 3\cdot\frac16 +
4\cdot\frac16 + 5\cdot\frac16 + 6\cdot\frac16 =\frac{21}6 =
\color{darkred}{\frac72}
\end{split}
\end{equation}Ez azt fejezi ki, hogy nagyon sokszor dobva a kockával a a
dobások átlaga várhatóan (kb.) 3,5 lesz.
A Binomiális eloszlás várható értéke
Legyen tehát adott egy \(0<p<1\) valószínûségû esemény, melyet \(n\in\mathbb N^+\)-szer egymástól függetlenül megismétlünk. Ha azt vizsgáljuk, hányszor következik ez be, akkor kapjuk a \(B_n^p\) valószínûségi változót, melynek eloszlása a \(B_n^p(k)\) Binomiális eloszlás. (\(k=0;1;2;\ldots;n\))
\[
M(B_n^p) = np
\]
Bizonyítás: A várható érték definíciója és a
Binomiális eloszlás képlete szerint:
\[M(B_n^p) =\sum_{k=0}^n k\cdot\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]
Alakítgassuk ezt egy kicsit!
\begin{equation}
\begin{split}
M(B_n^p) &=\underbrace{\sum_{k=0}^n k\cdot\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
= \sum_{k=1}^n }_{\text{A 0-dik tag elhagyható, értéke zérus.}} k\cdot
\overbrace{\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} = \sum_{k=1}^n
\color{darkgreen}{k}\cdot\frac{n!}{\color{darkgreen}{k!}(n-k)!}}^{\text{A
binom. együttható kifejtése}} p^k(1-p)^{n-k}=\\\\
\text{Egyszerûsítve }k\text{-val:}\\\\
&= \underbrace{\sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k} =
np}_{\text{Kiemelve }np\text{-t}}\cdot\sum_{k=1}^n
\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}=\\\\
\text{Vezessük be az }m&= n-1\text{ és az } l = k-1 \text{
változókat! (Ekkor persze }n-k=m-l\text{)}\\\\
&= np\cdot\sum_{l=0}^m \frac{m!}{l!(m-l)!}p^l(1-p)^{m-l} =
np\cdot\color{darkblue}{\sum_{l=0}^m \binom{m}{l}p^l(1-p)^{m-l}} = np
\end{split}
\end{equation}Ami talán még magyarázatra szorul, hogy a kékkel jelölt
rész értéke miért 1.
Ezt kétféleképp is beláthatjuk.
I. lehetõség: A kékkel jelölt rész:
\[
\color{darkblue}{\sum_{l=0}^m \binom{m}{l}p^l(1-p)^{m-l}}
\]a \(B_m^p\) Binomiális eloszlás összes elemi eseményének
valószínûségösszege, vagyis egy biztos esemény teljes valószínûsége,
tehát értéke 1.
II. lehetõség: Alkalmazzuk a Binomiális tételt a
\((p+q)\) összegre, ahol \(q:=1-p\). Így egyrészt
\begin{equation}
\begin{split}
(p+q)^m &= \color{darkblue}{\sum_{l=0}^m
\binom{m}{l}p^l(1-p)^{m-l}}\\\\
\text{Másrészt viszont a }q=1-p \text{ alapján:}\\\\
(p+q)^m &= (p+1-p)^m = 1^m = \color{darkblue}{1}
\end{split}
\end{equation}
Mindkét befejezés önállóan is helyes.
Ezzel a Binomiális eloszlás várható értékére vonatkozó tételt igazoltuk.
