1. feladat: Egy középiskolába 700 tanuló jár. Közülük 10% sportol rendszeresen a két iskolai szakosztály közül legalább az egyikben. Az atlétika szakosztályban 36 tanuló sportol rendszeresen, és pontosan 22 olyan diák van, aki az atlétika és a kosárlabda szakosztály munkájában is részt vesz.
 
A) Hányan sportolnak a kosárlabda szakosztályban?
 
B) Két tanulót véletlenszerûen kiválasztva (az iskola diákjai közül) mekkora az esélye annak, hogy legalább az egyikük sportol a két iskolai szakosztály valamelyikében?

36 atlétából 22 kosarazik is, tehát 14-en csak atletizálnak.	1 pont
70 tanuló sportol összesen, tehát 34 fõ csak kosarazik.	2 pont
22 + 34 = 56 tanuló kosarazik.	1 pont
Összesen:	4 pont

Megjegyzés: Akár ábra alapján, akár szöveges következtetéssel oldja meg, jár a 4 pont.
 
B)

700 diák közül választunk kettõt, az összes lehetõség: \(\binom{700}{2}\)	1 pont
Ha egyikük sem sportol, akkor a 630 nem sportoló közül választottuk õket. A lehetõségek száma: \(\binom{630}{2}\)	1 pont
Egyikük sem sportol \(\frac{\binom{630}{2}}{\binom{700}{2}}\approx0{,}8099\) eséllyel.	1 pont
Legalább az egyikük sportol \(1-0{,}8099 = 0{,}1901\) valószínûséggel.	1 pont
Összesen:	4 pont

Megjegyzés: A jó eredmény puszta közlése 2 pont, bármilyen helyes indoklással 4 pont.

2. feladat:  Egy öttagú társaság egymás után lép be egy ajtón. Mekkora a valószínûsége, hogy Anna, a társaság egyik tagja, elsõnek lép be az ajtón?

Anna \(\frac15\) valószínûséggel lép be elsõnek.	2 pont
Összesen:	2 pont

Megjegyzés: A feladat egy középszint, I. rész-beli, és indoklást nem kértek. (Az I. részben középszinten csak akkor várnak indoklást, ha ezt külön kérik. Óvatosan, mert a második részben kérés nélkül is elvárják az indoklást.)

3. feladat: Egy televíziós játékban 5 kérdést tehet fel a játékvezetõ. A játék során a versenyzõ, ha az elsõ kérdésre jól válaszol, 40 000 forintot nyer. Minden további kérdés esetén döntenie kell, hogy a játékban addig megszerzett pénzének 50, 75 vagy 100 százalékát teszi-e fel. Ha jól válaszol, feltett pénzének kétszeresét kapja vissza, ha hibázik, abba kell hagynia a játékot, és a fel nem tett pénzét viheti haza.
 
A) Mennyi pénzt visz haza az a játékos, aki mind az öt feltett kérdésre jól válaszol, s bátran kockáztatva mindig a legnagyobb tétet teszi meg?
 
B) Az a játékos, aki mindig helyesen válaszol, de óvatos, és a négy utolsó fordulóban pénzének csak 50%-át teszi fel, hány forintot visz haza?
 
C) A vetélkedõ során az egyik versenyzõ az elsõ négy kérdésre jól válaszolt. A második kérdésnél a pénzének 100 %-át, a 3., 4. és 5. kérdés esetén pénzének 75%-át tette fel. Az 5. kérdésre sajnos rosszul válaszolt. Hány forintot vihetett haza ez a játékos?
 
D) Egy versenyzõ mind az 5 fordulóban jól válaszol, és közben minden fordulóban azonos eséllyel teszi meg a játékban megengedett lehetõségek valamelyikét. Mennyi annak a valószínûsége, hogy az elnyerhetõ maximális pénzt viheti haza?

A) 1. megoldás:

Foglaljuk táblázatba az egyes fordulókban megtett téteket és a nyereményeket: A bátor versenyzõ 640 000 Ft-ot nyerhet, ha minden fordulóban jól válaszol.	4 pont
Összesen:	4 pont

Megjegyzés: a 2. fordulótól soronként 1-1 pont. Bármilyen logikusan felépített, helyes megjelenítés elfogadható.
 
A) 2. megoldás:

Az elsõ nyereménye 40 000 forint, a további négy fordulóban a pénze mindig megduplázódik, így a végén \(40\,000\cdot2^4 = 640\,000\) forint a nyeremény.	4 pont
Összesen:	4 pont

 
B) 1. megoldás:

Az óvatos versenyzõ 202 500 Ft-ot nyerhet, ha minden fordulóban jól válaszol.	4 pont
Összesen:	4 pont

Megjegyzés: a 2. fordulótól soronként 1-1 pont. Bármilyen logikusan felépített, helyes megjelenítés elfogadható.
 
B) 2. megoldás:

Az elsõ nyereménye 40 000 forint, a további négy fordulóban a pénze mindig másfélszerezõdik, így a végén \(40\,000\cdot2ó1{,}5^4 = 202\,500\) forint a nyeremény.	4 pont
Összesen:	4 pont

 
C) 1. megoldás:

A versenyzõ 61 250 Ft-ot nyerhet, ha minden fordulóban jól válaszol.	5 pont
Összesen:	5 pont

Megjegyzés: a 2. fordulótól soronként 1-1 pont. Bármilyen logikusan felépített, helyes megjelenítés elfogadható.
 
C) 2. megoldás:

Az elsõ nyereménye 40 000 forint, a további négy forduló végére \(40\,000\cdot2^1\cdot1{,}75^2\cdot 0{,}25 = 60\,250\) forint a nyeremény.	5 pont
Összesen:	5 pont

 
D) 1. megoldás:

A kockáztatás 4 fordulón keresztül történik, és a játékos minden fordulóban \(\frac13\) valószínûséggel vállal 100%-ot.	1 pont
A maximális nyereményhez jutás valószínûsége: \(\left(\frac13\right)^4 = \frac1{81}\approx0{,}012\)	3 pont
Összesen:	4 pont

 
D) 2. megoldás:

Az összes esetek száma a 4 utolsó fordulóban \(3^4 = 81\)	2 pont
A kedvezõ esetek száma 1.	1 pont
A keresett valószínûség (a klasszikus modell szerint): \(\frac1{81}\approx0{,}012\)	1 pont
Összesen:	4 pont

4. feladat: A 100-nál kisebb és hattal osztható pozitív egész számok közül véletlenszerûen választunk egyet. Mekkora valószínûséggel lesz ez a szám 8-cal osztható? Írja le a megoldás menetét!

Összesen 16 db hattal osztható szám van a megadott tartományban, közülük 4 db osztható 8-cal.	2 pont
A valószínûség: \(\frac4{16}(=25\%)\).	1 pont
Összesen:	3 pont

blabla