44. óra: Függvény határértéke (ismétlés)
A hatáérték fogalmát 'visszük át' egy másik környezetre - a függvények világába.
Szemben a sorozatoknál látott \(n\rightarrow\infty\) esetben vizsgált sorozat-határértékkel, itt a függvény változója tarthat egy véges értékhez is \(\text{pl. }\left(x\rightarrow0\right)\), és hasonlóan a sorozatokhoz azt vizsgáljuk, hogy hova 'tart' eközben a függvény értéke: \(f(x)\).
Egy (igen) egyszerû példa
Tekintsük az \(f(x):=\frac{x}x\text{; }x\in\mathbb R\setminus\{0\}\) függvényt!
A függvény nyilvánvalóan
értelmetlen az \(x=0\) pontban. Mégis, ha az \(x\) változóval közelítünk a 0-hoz, a függvényértékek (konstans 1) az 1 számhoz tartanak. Erre szeretnénk majd aztmondani, hogy az \(f(x)\) függvény határértéke a 0-ban 1: |
Az \(f(x)\) függvény grafikonja |
\[
\lim_{x\rightarrow0}f(x) = 1
\]
Általában (de nem mindig) olyan helyzeteket próbálunk 'kezelni', amikor
a függvény valamely pontban úgy 'szeretne' valamely értéket 'felvenni',
és bár az általunk talált definíció ezt nem engedi - ott a definiáló
képlet értelmetlenné válik - mégis, mintha lenne ott valami érték, amit
a függvény 'szinte felvesz' - de mégsem rendesen.
Ilyenkor szeretnénk azt mondani, hogy a függvény hatértértéke azon a
helyen az a bizonyos érték.
A függvény határértékét két (ekvivalens) módon is szokás definiálni:
- A szekvenciális definíció: sorozatok segítségével mondjuk meg, hogy mit értünk fv. határértékén. Ez viszonylag szemléletes, jól kifejezi, hogy miért mûködik itt is az átviteli-elv;
- A topológiai definíció: általánosabb, elméletibb, és a felsõbb matematikában sokszor lényegesen hasznosabb.
Mindkettõt meg kell ismernünk!
Mielõtt hozzákezdünk, meg kell érteni, hogy valamely pontban csak akkor vizsgálhatjuk a határértéket, ha a fv. értelmezési tartományában tetszõlegesen 'közel' mehetünk a vizsgált helyhez. (Az értelmezési tartománytól izoált helyen a kérdésfelvetés értelmetlen.)
Definíció: Az \(x_0\in\mathbb R\) pont torlódási pontja a \(H\subset\mathbb R\) halmaznak, ha bármely \(\varepsilon>0\) számhoz található olyan \(h\in H\) elem, amelyre \(h\ne x_0\), és \(|h-x_0|<\varepsilon\). |
Pl. az \(x_0=\sqrt{2}\) torlódási pontja az racionális számok halmazának - hisz bármely kicsiny környezetében vannak racionális számok, de õ maga nem racionális.
A torlódási pont szemléletes jelentése az, hogy a tekintett (H) halmaz pontjaival bármilyen közel tudunk menni úgy az \(x_0\) ponthoz, hogy azért nem 'lépünk rá' az \(x_0\)-ra.
Más szavakkal: Van olyan csupa \(H\)-beli \(h_n\ne x_0\) számokból álló sorozat, amely \(x_0\)-hoz tart.
A szekvenciális definíció
Azt mondjuk, hogy az \(f(x)\) függvénynek az \(x_0\) pontban a határértéke az \(A\) szám, ha bármely \(D_f\) elemeibõl alkotott \(x_0\)-hoz konvergáló \(h_n\ne x_0\) sorozat esetén az \(f(h_n)\) sorozat \(A\) hoz tart.
Matematikai jelölésekkel:
\[
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A\text{, ha}\hphantom{0000000000}
\forall h_n\rightarrow x_0, h_n\ne x_0, h_n\in D_f\text{ esetén } f(h_n)\rightarrow A
\]
Megjegyzések: A \(h_n\) sorozat tagjainak azért kell
a \(D_f\)-be esniük, hogy ott legyen értelme az \(f(h_n)\)-nek.
A \(h_n\) sorozat tagjai azért nem lehetnek egyenlõk \(x_0\)-lal, mert
az \(x_0\)-ban a fv. talán nincs is értelmezve; vagy ha igen, akkor is
az ott felvett értéktõl függetlenül akarjuk a határértéket definiálni.
Egy animáció, amit megmutatni, elmondani nem kell, de talán segít a
megértésben... (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
A topológiai definíció
A most ismertett definíció ekvivalens a fentivel, de nagyon máshogy szól.
Azt mondjuk, hogy az \(f(x)\) függvénynek az \(x_0\) pontban a határértéke az \(A\) szám, ha bármely \(\varepsilon>0\) számhoz található olyan \(\delta>0\) szám, amelyre:
\[
\big|\,f(x)-A\,\big|<\varepsilon\text{, ha}\hphantom{0000000000}
\big|\,x-x_0\,\big|<\delta\text{ miközben }x\in D_f\text{ és }x\ne x_0
\]
Itt tehát a közelséggel operálunk: Bármilyen elõírt \((\varepsilon>0)\) közelségben lesz a függvényérték a határértékhez, ha a változó (\(x\)) elég közel \((\delta>0)\) van az \(x_0\)-hoz. (És persze ez csak olyan \(x\)-ekre vonatkozik, ahol van fv.érték, és amelyik nem egyenlõk az \(x_0\)-lal.)
Egy újabb animáció, amirõl beszélni nem kell, de talán segít a
megértésben... (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
BEFEJEZÉS