36. óra: Gyakorló feladatok a dolgozatra
V. feladatsor
A feladatok megoldása (az idõ rövidsége miatt kézírással): V.feladatsor.megoldasa.pdf
V.1. feladat: Tekintsük
az
\[
a_n=\frac{2n+5}{2n+7}, \hphantom{000}n\in\mathbb N
\]sorozatot!
A) Igazolja, hogy az \(a_n\) sorozat szigorúan monoton nõ.
B) Igazolja, hogy a sorozat konvergens, és adja meg a határértékét.
\[
a_n=\frac{2n+5}{2n+7}, \hphantom{000}n\in\mathbb N
\]sorozatot!
A) Igazolja, hogy az \(a_n\) sorozat szigorúan monoton nõ.
B) Igazolja, hogy a sorozat konvergens, és adja meg a határértékét.
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
V.2. feladat: Mutassa
meg, hogy az alábbi \(b_n\) sorozat konvergens, és adja meg a
határértékét.
\[
b_n=\frac{3^n+3\cdot2^n+4^{n+1}}{2\cdot 2^{2n}+4\cdot 3^n + 4^n+5},\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
\[
b_n=\frac{3^n+3\cdot2^n+4^{n+1}}{2\cdot 2^{2n}+4\cdot 3^n + 4^n+5},\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
V.3. feladat:
A \(c_n\) sorozatot a következõképp' definiáljuk:
\[
c_n=\frac{\binom{n}2}{\binom{n}3},\hphantom{000}n\in\mathbb N,\hphantom{0}n\ge3
\]
Konvergens-e a \(c_n\) sorozat? Ha igen adja meg a hatérértékét is!
\[
c_n=\frac{\binom{n}2}{\binom{n}3},\hphantom{000}n\in\mathbb N,\hphantom{0}n\ge3
\]
Konvergens-e a \(c_n\) sorozat? Ha igen adja meg a hatérértékét is!
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
V.4. feladat:
Legyen \(d_n=\sqrt[n]{n}\), ahol \(n\in\mathbb N^+\).
A) Igazolja, hogy \(d_n\) konvergens, és \(\lim d_n=1\).
B) Adjon \(N\in\mathbb N^+\) küszöbindexet az \(\varepsilon=0,01\)-hoz, melyre teljesül, hogy
\[
\big|\,d_n-1\,\big|<\varepsilon, \text{ ha }n>N
\]
A) Igazolja, hogy \(d_n\) konvergens, és \(\lim d_n=1\).
B) Adjon \(N\in\mathbb N^+\) küszöbindexet az \(\varepsilon=0,01\)-hoz, melyre teljesül, hogy
\[
\big|\,d_n-1\,\big|<\varepsilon, \text{ ha }n>N
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
V.5. feladat: Igazolja,
hogy az alábbi \(f_n\) sorozat 0-hoz tart:
\[
f_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}
\]
Megjegyzés: A \((2n)!\) kifejezés azt jelenti, hogy \(1\)-tõl \(2n\)-ig összeszorozzuk a pozitív egészeket.
\[
f_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}
\]
Megjegyzés: A \((2n)!\) kifejezés azt jelenti, hogy \(1\)-tõl \(2n\)-ig összeszorozzuk a pozitív egészeket.
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
