Teljes indukció módszere ("Ravaszabb esetek")

1. feladat

Igazold, ha $n\in \mathbb{N^+}$ páratlan, akkor $48|n^3+3n^2-n-3$ kifejezésnek! $$\ \ $$

2. feladat

Igazold, hogy n db egyenes a síkot legfeljebb $ \dfrac{n^2+n+2}{2} $ részre osztja! $$\ \ $$

3. feladat $ \heartsuit $

Bizonyítsuk be a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, azaz igazoljuk: ha $ a_1\geq 0,\ a_2\geq 0, \dots \ a_n\geq 0, $ akkor $ \forall \ n\in \mathbb{N^+} -re $ $$ \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \ \dotsc \cdot \ a_n}\leq \dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} $$ egyenlőség pedig csak akkor van, ha $ a_1=a_2= \dotsc =a_n$ $$\ \ $$

4. feladat $ \heartsuit $

Igazoljuk, hogy n darab pozitív valós szám harmonikus közepe kisebb vagy egyenlő, mint ugyanezen számok mértani közepe, és az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a számok mind egyenlőek egymással! Azaz ha $ a_1> 0,\ a_2> 0, \dots \ a_n> 0, $ akkor $ \forall \ n\in \mathbb{N^+} -re $ $$ \dfrac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ \dots + \frac{1}{a_n}}\leq \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot \ \dotsc \cdot \ a_n} $$ $$\ \ $$

5. Gyakorlás

5.1

Bizonyítsd a következő oszthatósági szabályokat minden pozitív természetes számra:

1. $4|3\cdot 17^{2n}+25^n$

2. $9|4^n+15n-1$

5.2

Bizonyítsd a következő összefüggéseket minden pozitív természetes számra:

1. $ 1^2+3^2+5^2+ \dots +(2n-1)^2=\dfrac{n(4n^2-1)}{3}$

2. $\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 7}+\dots+ \dfrac{1}{(2n-1)\cdot{2n+1}}=\dfrac{n}{2n+1} $

5.3

Az $ a_n $ sorozat rekurziója

         $a_0=4 $

         $ a_n=a_{n-1}+3n $

Add meg a sorozat képletét! (Állításod igazold teljes indukcióval!) $$\ \ $$