1. feladat
Határozd meg az első n pozitív egész szám összegét! Igazold teljes indukcióval! (Folytatás a következő órán...) $$\ \ $$
2. feladat
Igazold, hogy $\forall$ $n\in \mathbb{N^+}$ esetén $27|10^n+18n-1$ kifejezésnek! $$\ \ $$
3. feladat
Bizonyítsd be, hogy az első n pozitív egész szám négyzetének összege: $\dfrac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}$ $$\ \ $$
4. feladat
Határozd meg az első n pozitív egész szám köbének összegét! Igazold a képletet teljes indukcióval! (Folytatás a következő órán...) $$\ \ $$
5. feladat
Bizonyítsd be, hogy a $133|11^{n+1}+12^{2n-1}$ (n pozitív egész) $$\ \ $$
6. feladat
Bizonyítsd be, hogy a $18|2^{2n}+24n-10$ (n pozitív egész) $$\ \ $$
7. feladat
Bizonyítsd be, hogy bármely pozitív egész számra igaz a következő egyenlőtlenség : $ 2n-1 < 2^n$ $$\ \ $$
8. feladat
Bizonyítsd be, hogy: $ \dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+\dots+ \dfrac{1}{n\cdot{n+1}}=\dfrac{n}{n+1}$ (n pozitív egész) $$\ \ $$
9. feladat
Keresd meg a bizonyításban a hibát!
Állítás: Minden ló egyforma színű.
A bizonyítást teljes indukcióval végezzük. Jelentse $L(n)$, $n\in \mathbb{N^+}$, azt az állítást, hogy "minden $n$-elemű, lovakból álló halmazban a lovak színe egyforma"! (n pozitív egész)(1) $n=1$-re $L(1)$ igaz, hiszen minden 1 lóból álló halmazban a lovak színe egyforma.
(2) Legyen $k \in N^+$ egy olyan, amelyre $L(k)$ igaz! (Azaz "minden k-elemű lóhalmazban a lovak egyszínűek".)
(3)Nézzük a dolgot$(k+1)$-re!
Legyen {$l_1,l_2,\dots l_k,l_{k+1}$} egy lovakból álló $(k+1)$-elemű tetszőleges halmaz! Megmutatjuk, hogy ebben a lovak színe egyforma.
Tekintsük az {$l_1,l_2,\dots l_k$}, lovakból álló $k$-elemű halmazt! Az indukciós feltevés szerint $L(k$) igaz, tehát ebben a lovak színe egyforma.
Tekintsük most az {$l_2,l_3,\dots l_{k+1}$} lovakból álló, szintén $k$-elemű halmazt! Az indukciós feltevés szerint $L(k)$ igaz ("minden k-elemű halmazban a lovak színe egyforma") - tehát ebben a lovak színe egyforma.
A két halmaz középső része átfedi egymást, azok egyforma színűek $l_1$-gyel és $l_{k+1}$-gyel is, tehát mind a $(k+1)$ ló azonos színű.
Ezzel az állítást igazoltuk $(k+1)$-re, a bizonyítást befejeztük.A világ összes lova is egy véges $n$-elemű lóhalmaz, kimondhatjuk az állítást: Minden ló egyforma színű.
Mi a hiba? $$\ \ $$
(1) $n=1$-re $L(1)$ igaz, hiszen minden 1 lóból álló halmazban a lovak színe egyforma.
(2) Legyen $k \in N^+$ egy olyan, amelyre $L(k)$ igaz! (Azaz "minden k-elemű lóhalmazban a lovak egyszínűek".)
(3)Nézzük a dolgot$(k+1)$-re!
Legyen {$l_1,l_2,\dots l_k,l_{k+1}$} egy lovakból álló $(k+1)$-elemű tetszőleges halmaz! Megmutatjuk, hogy ebben a lovak színe egyforma.
Tekintsük az {$l_1,l_2,\dots l_k$}, lovakból álló $k$-elemű halmazt! Az indukciós feltevés szerint $L(k$) igaz, tehát ebben a lovak színe egyforma.
Tekintsük most az {$l_2,l_3,\dots l_{k+1}$} lovakból álló, szintén $k$-elemű halmazt! Az indukciós feltevés szerint $L(k)$ igaz ("minden k-elemű halmazban a lovak színe egyforma") - tehát ebben a lovak színe egyforma.
A két halmaz középső része átfedi egymást, azok egyforma színűek $l_1$-gyel és $l_{k+1}$-gyel is, tehát mind a $(k+1)$ ló azonos színű.
Ezzel az állítást igazoltuk $(k+1)$-re, a bizonyítást befejeztük.
A világ összes lova is egy véges $n$-elemű lóhalmaz, kimondhatjuk az állítást: Minden ló egyforma színű.
Mi a hiba?