1. feladat
Határozd meg (amennyiben létezik) a következő sorozatok határértékét, a konvergens sorozatokra vonatkozó műveleti szabályok alapján! $ (n\in \mathbb{N}) $ Vizsgáld meg a sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából!
$$\ \ $$
- $ a_n=(-1)^n\cdot\dfrac{1}{2n^2} $
- $ b_n=\dfrac{5n-2}{5-10n} $
- $ c_n=\dfrac{3^{n+1}-1}{3^n} $
- $ d_n=\dfrac{8}{3^{n+1}}\cdot\cos (n\pi)$
- $ e_n=\dfrac{2^n+3^{n+1}}{2^{n+2}} $
- $ f_n=\dfrac{9^{n+1}-(-1)^n\cdot 3^{n+1}}{9^n} $
- $ h_n=\dfrac{1+2+3+\dotsc+n}{(n+1)(n+10)} $
2. feladat
Mennyi az $ a_n=\dfrac{2n-5}{3n-4} $ sorozat határértéke? Jelöld ezt a határértéket $A$-val. Adj $ N\in \mathbb{N} $ küszöbindexet az $ \varepsilon=0,01 $ számhoz melyre $ \left|a_n-A\right|<\varepsilon\mbox{, ha }n> N $ $$\ \ $$
3. feladat
Határozd meg a következő sorozatok határértékét, ha van!
$$\ \ $$
- $a_n=\dfrac{5^{n+1}}{n!}$
- $ b_n=\dfrac{1+2+3+\dotsc+n}{n+4}-\dfrac{n}{2} $
- $ c_n=\dfrac{2\cdot(-1)^n}{3\cdot\sqrt[3]{n}+1} $
- $ d_n=\dfrac{1-5^{n+1}}{5^n+1} $
- $ e_n=\dfrac{\sqrt[n]{4}}{n} $
- $ f_n=\dfrac{2^n+3^n}{4^n} $
- $ g_n=\dfrac{n^{10}}{2^n}$
- $ i_n=\dfrac{2^n+n^3}{n!}$
- $ j_n=\left(1-\dfrac{1}{n} \right)^n $
- $ k_n=\left(1+\dfrac{1}{3n} \right)^n $
- $ l_n=\left(\dfrac{n+3}{n-2} \right)^n $
- $ m_n=\left(\dfrac{5n+2}{5n+1} \right)^{n+1} $
- $ o_n=\left(\dfrac{1}{n}+4 \right)^n $
- $ p_n=\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{n} \right)^n $
- $ r_n=\left(\dfrac{n-1}{n} \right)^{n^2} \ \heartsuit\ $
- $ s_n=\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{1+\frac{1}{n}} \ \heartsuit\ $