Sorozatok jellemzõi (Konvergencia)

Az bevezetõ feladatokban a konvergenciát a definíció alapján, vagy a rendõrszabály segítségével igazold!

1. feladat
Konvergensek-e az alábbi sorozatok? (A bizonyítást a konvergencia definíciója alapján végezd el!)

$ a_n=\left\{\dfrac{3}{n}\right\} $

$ b_n= \left\lbrace (-1)^{n+1}\cdot\dfrac{1}{n^2}\right\rbrace $

$ c_n=2 $

$ d_n=\left\{\dfrac{n+2}{2n}\right\}$

$ e_n=\left\{\dfrac{4}{n^2+1}\right\} $

$ f_n=\left\lbrace \dfrac{2n-1}{11-3n}\right\rbrace $

$ g_n=\left\lbrace \dfrac{1+\cos{n\pi}}{(2}\right\rbrace $

$ h_n=10^n $

$$\ \ $$

1. feladat

$ a_n=\left\{\dfrac{3}{n}\right\} $
$ b_n= \left\lbrace (-1)^{n+1}\cdot\dfrac{1}{n^2}\right\rbrace $
$ c_n=2 $
$ d_n=\left\{\dfrac{n+2}{2n}\right\}$

$ e_n=\left\{\dfrac{4}{n^2+1}\right\} $
$ f_n=\left\lbrace \dfrac{2n-1}{11-3n}\right\rbrace $
$ g_n=\left\lbrace \dfrac{1+\cos{n\pi}}{(2}\right\rbrace $
$ h_n=10^n $

2. feladat
Bizonyítsd be a rendõrszabály használatával, hogy az $ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ sorozat konvergens, és határértéke $0$. $$\ \ $$

2. feladat

Bizonyítsd be a rendõrszabály használatával, hogy az $ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ sorozat konvergens, és határértéke $0$.

3. feladat
Határozd meg az $ a_n=\dfrac{\cos{n}}{n}$ sorozat határértékét a rendõrszabály segítségével! $$\ \ $$

3. feladat

Határozd meg az $ a_n=\dfrac{\cos{n}}{n}$ sorozat határértékét a rendõrszabály segítségével!

4. feladat
Igazold a rendõrelv segítségével, hogy $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$$ $$\ \ $$

4. feladat

Igazold a rendõrelv segítségével, hogy $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1$$

5. feladat
Igazold a definíció alapján, hogy $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+3}{n^2}=+\infty$$ $$\ \ $$

5. feladat

Igazold a definíció alapján, hogy $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+3}{n^2}=+\infty$$