1. feladat
Bizonyítsd be, hogy az $ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n $ sorozat szigorúan monoton növekedő, illetve korlátos! $$\ \ $$
2. feladat
Vizsgáld meg a következő sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából!$$\ \ $$
- $ \left\{\sin\left(n\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)\right\} $
- $ \left\{\dfrac{n+2}{n}\right\} $
- $ \left\{\dfrac{n-2}{n+3}\right\}$
- $ \left\{\dfrac{n^2-1}{n^2}\right\} $
- $ \left\lbrace \dfrac{2n-1}{11-3n}\right\rbrace $
- $ \left\lbrace (-1)^n\cdot\dfrac{1}{3n^2}\right\rbrace $
- $ \left\lbrace \dfrac{1+2+3+ \dots+n}{(n-1)(n+5)}\right\rbrace $
- $ \left\lbrace \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\right\rbrace $
- $ \left\lbrace \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right\rbrace $
3. feladat
Mit mondhatunk az $ a_n=\left( 1-\dfrac{1}{n}\right)^n $ sorozatról monotonitás szempontjából? $$\ \ $$
4. feladat
Az előző feladat eredményét felhasználva bizonyítsd be a következő egyenlőtlenséget!$$ \left( 1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1} >\left( 1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+2} $$ $$\ \ $$
5. feladat
Legyen $ n>1 $ tetszőleges természetes szám. Igazold, hogy $$ \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+ \dots + \dfrac{1}{2n}>\dfrac{1}{2}$$ $$\ \ $$
6. feladat
6.1.
Mit mondhatunk az $ a_n=\dfrac{n}{n+1} $ sorozatról monotonitás szempontjából?
6.2.
Az előző részfeladat eredményét felhasználva bizonyítsd be, hogy a következő egyenlőtlenség minden $n>1$ természetes számra igaz!$$ \dfrac{1}{2\cdot\sqrt{n}} < \dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \dotsc \cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \dotsc \cdot 2n} < \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} $$ $$\ \ $$
$$ \dfrac{1}{2\cdot\sqrt{n}} < \dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \dotsc \cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \dotsc \cdot 2n} < \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} $$
7. feladat
Korlátos-e az $ a_n=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+ \dots + \dfrac{1}{n^2}$ sorozat? $ (n=1,2, \dots)$ $$\ \ $$