1. feladat: Határozza meg, hogy a változó mely érékeire értelmesek az alábbi algebrai törtek!
\[
\mathbf{A)}\hphantom{000}\frac{5x+1}{x-7}\hphantom{0000000000000000000000000000}
\mathbf{B)}\hphantom{000}\frac{1-a}{12-3a}
\]

A) Az \(\frac{5x+1}{x-7}\) kifejezés akkor értelmes, ha a nevezõje nem 0.
\begin{equation}
\begin{split}
x-7 &\ne 0\hphantom{000000}\big/\,+7\\
x &\ne 7
\end{split}
\end{equation}Válasz: A kifejezés értelmes, ha \(\hphantom{0}\underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{x\ne7}}}}\).
 
B) Az \(\frac{1-a}{12-3a}\) kifejezés akkor értelmes, ha a nevezõje nem 0.
\begin{equation}
\begin{split}
12-3a &\ne 0\hphantom{000000}&\big/\,+3a\\
12 &\ne 3a &\big/\,:3\\
4 &\ne a
\end{split}
\end{equation}Válasz: A kifejezés értelmes, ha \(\hphantom{0}\underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{a\ne4}}}}\).

2. feladat: Végezze el az alábbi algebrai törtek összeadását, ill. kivonását! (Az eredmény számlálóját és nevezõjét összeg-alakban kérem, elvégezve a lehetséges összevonásokat.)
\[
\mathbf{A)}\hphantom{000}\frac{x-1}{x+2}+\frac{2-3x}{x-2}=\text{ ?}\hphantom{0000000000000000000}
\mathbf{A)}\hphantom{000}\frac{5}{y+1}-\frac{y+1}{y}=\text{ ?}
\]

A) A közös nevezõ: \((x+2)(x-2)\).
\begin{equation}
\begin{split}
\overset{\underline{\text{bõv.: }x-2}}{\frac{x-1\vphantom{1^1}}{x+2}} + \overset{\underline{\text{bõv.: }x+2}}{\frac{2-3x\vphantom{1^1}}{x-2}} &=
\frac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} +\frac{(x+2)(2-3x)}{(x+2)(x-2)} = \frac{(x-1)(x-2)+(x+2)(2-3x)}{(x+2)(x-2)}=\\\\
&= \frac{x^2-x-2x+2\,+\,2x-3x^2+4-6x}{(x+2)(x-2)} =
= \underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{\frac{-2x^2-7x+6}{x^2-4}}}}}
\end{split}
\end{equation}
 
B) A közös nevezõ: \(y(y+1)\).
\begin{equation}
\begin{split}
\overset{\underline{\text{bõv.: }y}}{\frac{5\vphantom{1^1}}{y+1}} - \overset{\underline{\text{bõv.: }y+1}}{\frac{y+1\vphantom{1^1}}{y}} &=
\frac{5y}{y(y+1)} -\frac{(y+1)(y+1)}{y(y+1)} = \frac{5y-(y+1)^2}{y(y+1)}= \frac{5y-(y^2+2y+1)}{y^2+y} =\\\\
&= \frac{5y-y^2-2y-1}{y^2+y} =
= \underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{\frac{-y^2+3y-1}{y^2+y}}}}}
\end{split}
\end{equation}