76. óra utáni hétvégére adott gyakorló feladatok. Polinommûveletek

Az itt kiadott feladatok nem beadandók, nem kötelezõk. Célja a gyakorlás, és az esetleges lemaradás pótlásának lehetõsége. (A megoldásokat feltettem.)

1. példa: Hozza összeg-alakra a következõ polinomot (azaz bontsa fel a zárójeleket és végezze el a lehetséges összevonásokat)!
\[
2(3x+4)(5x-2)-3(x+5)(2x+1)
\]

Megoldás:
\begin{equation}
\begin{split}
2(3x+4)(5x-2)-3(x+5)(2x+1) &= 2(15x^2-6x+20x-8)-3(2x^2+x+10x+5) = \\
&=2(15x^2+14x-8)-3(2x^2+11x+5) =\\
&=30x^2+28x-16-6x^2-33x-15=\\
&=\color{darkred}{\mathbf{24x^2-5x-31}}
\end{split}
\end{equation}

1. feladat: Hozza összeg-alakra az alábbi polinomokat!
\[
\begin{array}{lrclc}
\textbf{A)} & (x+3)(5x-7)+(2x-8)(x-3) &=& \text{?}&\hphantom{000000000000000000000}\\\\
\textbf{B)} & 4(3a-7)(a+2)-3(a-7)(2a+1) &=& \text{?}&\\\\
\textbf{C)} & (2y^2+y-3)(5y+4) &=& \text{?}&
\end{array}
\]

Megoldás (fenn van): (megjelenik) ↓ (eltûnik) ↑

2. példa: Kiemeléssel, és az \(a^2-b^2=(a-b)(a+2)\) azonosság alkalmazásával alakítsa szorzattá a következõ polinomot:
\[
5x^2-45
\]

Megoldás: \(5x^2-45=5(x^2-9)=5(x^2-3^2)=\color{darkred}{\mathbf{5(x-3)(x+3)}}\)

2. feladat: Alakítsa szorzattá a következõ polinomokat (amennyire csak lehet):
\[
\begin{array}{lrclclrcl}
\textbf{A)} & 28x^2-63 &=& \text{?} & \hphantom{0000000000000000000000000}&
\textbf{C)} & 8x^2-98 &=& \text{?} \\\\
\textbf{B)} & 50a^2-32 &=& \text{?} &&
\textbf{D)} & 3ab^2-300a &=& \text{?} &
\end{array}
\]

Megoldás (fenn van): (megjelenik) ↓ (eltûnik) ↑

3. feladat: Döntse el, hogy teljes négyzetek volnának-e az alábbi polinomok! (Teljes négyzet az, ami \((a+b)^2\), vagy \((a-b)^2\) alakra hozható.)
Ha igen, adja meg a megfelelõ teljes négyzetet, ha nem, röviden indokolja a döbtését!
\[
\begin{array}{lrclr}
\textbf{A)} & x^2-10x+100 &\hphantom{0000000000000000000000000}
\textbf{B)} & x^2+14x+49
\end{array}
\]

Megoldás:

\(\textbf{A)}\hphantom{00}\) Nem teljes négyzet. A szereposztás szerint \(a=x\). Az elsõfokú tag szerint \(b=5\) lenne, de akkor \(b^2=25\) kéne legyen, nem pedig \(100\).

\(\textbf{B)}\hphantom{00}x^2+14x+49 = \color{darkred}{\mathbf{(x+7)^2}}\), tehát teljes négyzet.

3. feladat: Döntse el, hogy teljes négyzetek volnának-e az alábbi polinomok!
Ha igen, adja meg a megfelelõ teljes négyzetet, ha nem, röviden indokolja a döbtését!
\[
\begin{array}{lrclclrcl}
\textbf{A)} & x^2-12x+36 &=& \text{?} & \hphantom{0000000000000000000000000}&
\textbf{C)} & y^2+6y+16 &=& \text{?} \\\\
\textbf{B)} & p^2+4p+8 &=& \text{?} &&
\textbf{D)} & x^2+x+\frac14 &=& \text{?} &
\end{array}
\]

Megoldás (fenn van): (megjelenik) ↓ (eltûnik) ↑