71. óra, gyakorlat: Mûveletek polinomokkal

1. példa: Zárójefelbontás, rendezés
 
Hozza összeg-alakra az alábbi kifejezést (vagyis bontsa fel a zárójeleket, és az összevonható tagokat vonja össze):
\[
(2x+3)(x-2)-3(x^2+x-1) =
\]

Megoldás:
\[
(2x+3)(x-2)-3(x^2+x-1) = 2x^2+3x-4x-6-3x^2-3x+3 = \color{darkred}{\mathbf{-x^2-4x-3}}
\]

1. feladat (önállóan): Hozza összeg-alakra az alábbi kifejezéseket (vagyis bontsa fel a zárójeleket, és az összevonható tagokat vonja össze):
\[
\begin{array}{lrclclrcl}
\textbf{A)} & (2y+3)(y-5)+(y-2)(y+1) & = & \text{?} & \hphantom{000000000000000} &
\textbf{C)} & 5(a^2-2a)-a(7a-1) & = & \text{?}\\
\textbf{B)} & 3(p-q)(p+q)-2(p^2-2pq) & = & \text{?} &&\textbf{D)} & 5(v^2+2)-3(v^2+2v+2) & = & \text{?}
\end{array}
\]

 

 

2.példa: Ismerje fel és alkalmazza az alábbi kifejezés felbontásában az \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) azonosságot:
\[
(4x-3)(4x+3) =
\]

Megoldás:
\[
(4x-3)(4x+3) = (4x)^2-3^2 = \color{darkred}{\mathbf{16x^2-9}}
\]

2. feladat (önállóan): Ismerje fel és alkalmazza az alábbi kifejezés felbontásában az \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) azonosságot:
\[
\begin{array}{lrclclrcl}
\textbf{A)} & (2y+3)(2y-3) & = & \text{?} & \hphantom{0000000000000000000} &
\textbf{C)} & (p-2q)(p+2q) & = & \text{?}\\
\textbf{B)} & \left(x-\frac23\right)\left(x+\frac23\right) & = & \text{?} &&\textbf{D)} & \left(\frac12a+1\right)\left(\frac12a-1\right) & = & \text{?}
\end{array}
\]

 

 

3.példa: Ismerje fel és alkalmazza az alábbi kifejezés szorzattá alakításában az \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) azonosságot:
\[
  25a^2-16=
\]

Megoldás:
\[
25a^2-16 = (5a)^2-4^2= \color{darkred}{\mathbf{(5a-4)(5a+4)}}
\]

3. feladat (önállóan): Ismerje fel és alkalmazza az alábbi kifejezés szorzattá alakításában az \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) azonosságot:
\[
\begin{array}{lrclclrcl}
\textbf{A)} & 9y^2-49 & = & \text{?} & \hphantom{0000000000000000000} &
\textbf{C)} & p^2-\frac1{25} & = & \text{?}\\
\textbf{B)} & a^2-0{,}01 & = & \text{?} &&\textbf{D)} & b^2-0{,}25 & = & \text{?}
\end{array}
\]

 

 

A KIEMELÉS
 
Tudjuk, hogy ha egy összeg elõtt egy szorzó áll, pl. \(a(b+c)\), akkor a zárójel felbontható az alábbi módon:
\[
a(b+c) = ab+ ac
\]Ez az észrevétel 'visszafelé' is alkalmazható: \(ab+ac=a(b+c)\). Ilyenkor kiemelésnek nevezzük.
Pl.: Emeljük ki az alábbi kifejezésbõl a 3-at: \(3x^2-6x+12\):
\[
3x^2-6x+12=3(x^2-2x+4)
\]
(A mûvelet helyességét a visszaszorzás igazolja - kijön!)
 
A kiemelés tehát azt jelenti: egy összeg minden tagját elosztom ugyanazzal a kifejezéssel, azt zárójelbe teszem, és azt, amivel végigosztottam kiírom a zárójel elé szorzónak.
Fontos! hogy csak olyasmit emeljünk ki, ami mindben megvan.
A kifejezés ezzel nem változik, hiszen ha felbontanánk a záárójelet, visszakapnánk az eredetit.

4. példa: Kiemeléssel alakítsa szorzattá az alábbi polinomot! (A kiemelésnél mindent emeljen ki, amit lehet!)
\[
4a^2-12ab + 8a=
\]

Megoldás:
\[
4a^2-12ab+8a = \color{darkred}{\mathbf{4a(a-3b+2)}}\hphantom{0000}\text{A }4a\text{ minden tagban megvolt...}
\]

4. feladat (önállóan): Kiemeléssel alakítsa szorzattá az alábbi polinomokat! (A kiemelésnél mindent emeljen ki, amit lehet!)
\[
\begin{array}{lrclclrcl}
\textbf{A)} & 2y-8 & = & \text{?} & \hphantom{0000000000000000000} &
\textbf{C)} & 2x^2y+4xy^2 & = & \text{?}\\
\textbf{B)} & ax-ay & = & \text{?} &&\textbf{D)} & 3a^3b+9a^2b^2-12ab & = & \text{?}
\end{array}
\]

 

 

Jó munkát!