70. óra: Nevezetes szorzatok I.: \((a-b)(a+b)\)
\[
(a-b)(a+b) = a^2-ab+ab+b^2 = a^2-b^2
\]Ez egy nevezetes azonosság, melyek alkalmazhatunk a polinommûvelet egyszerûbb elvégzésekor.
Példák:
1. Bontsuk fel az \((x-2)(x+2)\) szorzatot!
Alkalmazva a fenti azonosságot: \((x-2)(x+2) = \color{darkred}{x^2-4}\)
2. Mi lesz a következõ szorzat felbontása: \((2x-1)(2x+1)\).
Alkalmazva a fenti azonosságot: \((2x-1)(2x+1) = \color{darkred}{4x^2-1}\)
Megjegyzés: A fenti mûveleteket az azonosság ismerete nélkül is elvégezhettük volna (bár így gyorsabb), de a következõket inkább csak az atonosság ismeretében tudjuk megoldani.
\[
a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
\]
Példák:
1. Alakítsuk szorzattá a következõ polinomot: \(x^2-9\)
Alkalmazzuk a fenti észrevételt!
\[
x^2-9 = \underbrace{x^2-3^2 =
\color{darkred}{(x-3)(x+3)}}_{\text{Szerepek: }a=x\text{, }b=3}
\]
2. Alakítsuk szorzattá a következõ polinomot: \(4x^2-y^2\)
Alkalmazzuk a fenti észrevételt!
\[
4x^2-y^2 = \underbrace{(2x)^2-y^2 =
\color{darkred}{(2x-y)(2x+y)}}_{\text{Szerepek: }a=2x\text{, }b=y}
\]
3. Alakítsuk szorzattá a következõ polinomot: \((x+1)^2-25\)
Alkalmazzuk a fenti észrevételt!
\[
(x+1)^2-25 = \underbrace{(x+1)^2-5^2 = (x+1+5)(x+1-5) }_{\text{Szerepek:
}a=x+1\text{, }b=5} = \color{darkred}{(x+6)(x-4)}
\]
