64. óra: A háromszög súlyvonala

Értelmezés: A háromszög valamely csúcsához tartozó súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezõpontjával összekötõ szakasz (v. egyenes).   Az ábrán a \(B\) csúcshoz, vagy ha úgy tetszik, a \(b\) oldalhoz tartozó \(s_b\) súlyvonal látszik.

Két súlyvonal metszése

Elsõ vizsgálatunk: hogyan metszi egymást két súlyvonal?

Állítás: A háromszög két súlyvonala harmadolja egymás, éspedig a csúcstól távolabbi harmadolópontjuknál.

Indoklás

(1) Húzuk meg egy háromszög két súlyvonalát, a metszéspontot jelölje \(S\). (Ld. ábrán!)

Azt szeretnénk belátni, hogy pl. az \(SB\) fele pontosan akkora, mint az \(SF\). Ez jelentené azt, hogy az \(s_c\) harmadolja az \(s_b\)-t, mégpedig a csúcstól távolabbi harmadolópontján.

(2) Legyen \(P\) az \(\overline{SB}\), és legyen \(Q\) az \(\overline{SC}\) felezõpontja! (Kattintson az ábrán!)   (3) Az \(\overline{EF}\) az \(ABC\Delta\) középvonala, (kattintás!), ezért \[ EF\parallel a\hphantom{00}\text{ és }\hphantom{00}EF=\frac{a}2 \] (4) A \(\overline{PQ}\) az \(PBC\Delta\) középvonala, (kattintás!), ezért \[ PQ\parallel a\hphantom{00}\text{ és }\hphantom{00}PQ=\frac{a}2 \]

(5) Mindebbõl az következik, hogy \(EF\parallel PQ\) és \(EF=PQ\) - hiszen mindkettõ párhuzamos \(a\)-val, és mindkettõ fele az \(a\)-nak. (Kattintson!)

(6) Az \(EFQP\) négyszög (kattintás) paralelogramma, mert egy szemközti oldalpárja párhuzamos és egyenlõ.
Ekkor viszont átló felezik egymást, tehát a megfelelõ félátlók egyenlõk. (Kattintson!)

(7) A súlyvonalak \(S\) metszéspontja tehát a súlyvonalakat harmadolja, mégpedig a csúcstól távolabb; és ezt akartuk igazolni.

Három súlyvonal...

Célunk belátni, hogy a 3 súlyvonal egy ponton megy át, és az a pont mindegyiknek a csúcstól távolabbi harmadolópontja.

(1) Húzzunk be egy súlyvonalat! (Ld. ábra!)

(2) Ennek a súlyvonalnak (ábránkon \(s_b\)) csak egy csúcstól távolabbi harmadolópontja van; jelölje ezt \(S\). (Kattintson az ábrán!)   (3) Az elõzõ fejtegetésünk szerint a \(C\)-bõl indított súlyvonal ezen át kell menjen. (Kattintson az ábrára!)   (4) A két súlyvonalra tett indoklásunk nyilván a másik súlyvonalra is érvényes, így az \(A\)-bll indított súlyvonal is át kell menjen \(S\)-en. (Kattintson az ábrára!)

Kimondhatjuk tehát a háromszög súlyvonalairól szóló tanítást!