64. óra: A háromszög középvonala

Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos az alappal, és feleakkora. (Itt alapnak azt az oldalt mondjuk, amit a középvonal nem felez)

Bizonyítás: vektorokkal.

(1) Vegyük fel az \(\overrightarrow{AE}=p\) és a \(\overrightarrow{AF}=q\) vektorokat! (Kattintás az ábrán!)

(2) Ezekkel kifejezve az \(\overrightarrow{FE}\) vektort: \(\overrightarrow{FE}=p-q\). (Kattintás!)   (3) A \(2p\) és \(2q\) vektorokkal (kattintás) kifejezve a \(\overrightarrow{CB}\) vektort: \(\overrightarrow{CB}=2p-2q=2(p-q)\). (Kattintás!)   (4) A (2) és (3) eredménye alapján: \(\overrightarrow{CB}=2\cdot\overrightarrow{FE}\), ami vektorok esetén azt jelenti, hogy \[ CB \parallel FE\hphantom{00000}\text{és}\hphantom{00000}CB=2\cdot FE \]

És ezt akatruk igazolni.

 

Egy alkalmazás

A fenti tételre nem csak úgy gondolhatunk, hogy a háromszög két oldalfelezõ pontján át húzott szakasz párhuzamos az alappal (és feleakkora), hanem úgy is, hogy ha az egyik felezõponton át párhuzamost húzunk, akkor az automatikusan felezi a másik oldalt is, sõt a megfelelõ magasságot, súlyvonalat, stb.   Ok: A felezõponton át csak egy párhuzamost húzhatunk az alappal, és az akkor biztosan a középvonal lesz.

 

Példa

Szerkesszük meg az \(ABC\Delta\)-et, ha adott:
\[
a=7\,\text{cm}\hphantom{0000000000}
m_a=3{,}5\,\text{cm}\hphantom{0000000000}
s_b=4{,}5\,\text{cm}
\]

Vázlat   (1) Állítsunk merõlegest a \(b\) oldal \(F\) felezõpontjából az \(a\) oldalra! (Kattintson az ábrán!) A merõleges talppontját jelölje \(U\).   (2) A most behúzott \(FU\) szakasz az \(ATC\Delta\) (katt.) középvonala, mert az egyik oldalának \((AC)\) felezõpontján át húztunk párhuzamost egy másik oldallal \((AT)\). Így ennek hossza \(\frac{m_a}2\). (Kattintás!)

(3) Megvan a megszerkeszthetõ részháromszög! (Kattintás az ábrán.) \(BFU\Delta\)-nek három adata ismert: \(s_b\), \(\frac{m_a}2\) és a derékszög.

A szekesztés menete

(I) \(BFU\Delta\) szerkesztése két oldal \(\left(s_b,\,\frac{m_a}2\right)\) és a nagyobbikkal szemközti szög (derékszög) alapján. (Kattintás az ábrán.)

(II) A \(BU\) az \(a\) oldal egyenese, erre a \(B\)-bõl kiindulva felmérjük az \(a\) = 7 cm-t \(\longrightarrow C\). (Kattintás!)
(Két megoldás aszerint, hogy melyik irányba mérjük: \(C_1\) és \(C_2\).)

(III) \(CF\) szakasz megduplázása az \(F\) felezõpont túloldalára \(\longrightarrow A\). (Kattintás 2-szer!)
(Két megoldás marad, mert a két \(C\) két \(A\)-t ad.)

(IV) Az \(A_1\), \(B\), \(C_1\), illetve az \(A_2\), \(B\), \(C_2\) pontok összekötése. (Két megoldás, melyek nem egybevágók.)