63. óra: A háromszög köré írható kör
| Célunk olyan kört találni
(egy adott \(ABC\Delta\)-höz), mely a háromszög mindhárom csúcsán
áthalad. Neve: a háromszög köré írható kör. Rajzoljunk vázlatot (a vágyainkról)! Emlékeztetõ: Két ponttól egyenlõ távol lévõ pontok mértani helye (halmaza) a két pontot összekötõ szakasz felezõmerõlegese. |
Vázlat: |
Megoldás
Észrevétel: A most megrajzolt \(O\) pontra fennáll,
hogy:
\[
\left.
\begin{array}{rcl}
OB = OC \text{, mert a }\overline{BC}\text{ felezõmerõlegesén van.}\\
OB = OA \text{, mert a }\overline{AB}\text{ felezõmerõlegesén van.}
\end{array}
\right\}
\Rightarrow OA=OC
\]tehát \(O\) rajta kell legyen az \(\overline{AC}\) felezõmerõlegesén is. (Kattintás az ábrán!)
| 1. gondolat:
Mivel a keresett \(O\) pont egyenlõ távol van a
\(B\) és \(C\) pontoktól, azért a keresett \(O\) rajta kell
legyen a \(\overline{BC}\) felezõmerõlegesén.
(Kattintás az ábrán!) 2. gondolat: Hasonlóan rajta kell legyen az \(O\) pont az \(\overline{AB}\) felezõmerõlegesén is, mivel egyenlõ távol van \(A\)-tól és \(B\)-tõl. (Kattintás az ábrán!) Ha mindkét egyenesen rajta van, akkor \(O\) azok metszéspontja. (Kattintás az ábrán!) A kört tehát meghúzhatjuk. (Kattintás az ábrán!) |
 |
\[
\left.
\begin{array}{rcl}
OB = OC \text{, mert a }\overline{BC}\text{ felezõmerõlegesén van.}\\
OB = OA \text{, mert a }\overline{AB}\text{ felezõmerõlegesén van.}
\end{array}
\right\}
\Rightarrow OA=OC
\]tehát \(O\) rajta kell legyen az \(\overline{AC}\) felezõmerõlegesén is. (Kattintás az ábrán!)
Mondjuk ki eredményünket tétel formájában!
Tétel: Bármely háromszög
oldalfelezõ merõlegesei (hárman) egy ponton mennek át, és az a pont a háromszög
köré írható kör középpontja.
A középpont elhelyezkedése a háromszöghöz képest
Alapvetõen három lehetõség van:
 Hegyesszögû háromszög, a középpont a háromszög belsejében van |
 Derékszögû háromszög, a középpont az átfogó felezõpontja (Thálesz) |
 Tompaszögû háromszög, a középpont a háromszögön kívúl van. |
