58. óra: A paralelogramma-tétel

Definíció: Egy négyszöget paralelogrammának mondunk, ha szemközti oldalpárjai rendre párhuzamosak.
 
Az ábra jelöléseivel:
\[
AB\parallel CD\hphantom{00000}\text{és}\hphantom{00000}BC\parallel AD
\]

Tételünk arról szól, hogy a négyszögek közt van még 5 olyan (karakterisztikus) tulajdonság, amelyek - ugyanúgy mint a definíció - a paralelogrammákra és csak azokra jellemzõ (a négyszögek közt).

Szóhasználat: Két tulajdonság ekvivalens (egyenértékû), ha az egyikbõl következik a másik, és a másikból is következik az egyik.

Paralelogramma-tétel: Bármely négyszögre ekvivalens az alábbi 6 tulajdonság:
  1. Szemközti oldalpárjai rendre párhuzamosak (ez a definíció);
     
  2. Szemközti szögei rendre egyenlõk;
     
  3. Egy oldalon fekvõ szögei (mind a 4 esetben)kiegészítõ szögek;
     
  4. Átlói felezik egymást;
     
  5. Szemközti oldalpárjai rendre egyenlõk;
     
  6. Egyik szemközti oldalpárja párhuzamos és egyenlõ.
(Ezek tehát a paralelogramma karakterisztikus tulajdonságai. Rá és csak rá jellemzõk.)

 

Bizonyítás lenne: Meg kellene mutatnunk, hogy bármelyik tulajdonságból következik bármelyik másik. Ez hosszadalmas lenne - bár megy; inkább csak példálózó jelleggel bebizonyítunk egy esetet:

Állítás: (1) \(\Rightarrow\) (5), azaz ha egy négyszög szemközti oldalpárjai rendre párhuzamosak (1), akkor szemközti oldalpárjai rendre egyenlõk (5).

Indoklás:

(1) Húzzuk meg a négyszög \(AC\) átlóját! (Kattintson az ábrára!)

(2) Az ábrán \(\varphi\)-vel jelölt szögek (kattintás) váltószögek, tehát egyenlõk.
 
(3) Hasonlóan egyenlõk az ábrán \(\psi\)-vel jelölt szögek (kattintás), mert azok is váltószögek.
 
Eddig használtuk ki az oldalak párhuzamosságát.
 
(3) \(ABC\Delta\cong CDA\Delta\) mert egy oldaluk \((AC)\) közös (egyenlõ) és a rajta fekvõ szögek rendre egyenlõk. (Kattintson az ábrára!)
 
(4) Egybevágó h.szögek megfelelõ oldalai egyenlõk.
(4.1) Egyenlõk a \(\psi\)-kkel szemközti oldalak (kattintás), és
(4.2) egyenlõk a \(\varphi\)-kkvel szemközti oldalak.

És ezt kellett igazolnunk.