58. óra: Háromszögek egybevágóságának alapesetei
| Értelmezés: Két
háromszög egybevágó, ABC Δ ≅ A'B'C' Δ ha oldalaik és szögeik (mind) rendre megegyeznek. |
 |
Az egybevágósági alapesetek olyan állítások, amelyek kevesebb adat egyenlõségébõl következtetnek a teljes egybevágóságra, azaz kevesebb adat egyezésébõl következtetnek mind a hat alapadat egyezésére.
A bizonyítás az axiómák alapján igen terjedelmes lenne, helyette az egyértelmû
szerkeszthetõségre, mint szemléletes magyarázatra
hovatkozunk.
Állítás: két háromszög biztosan egybevágó, ha...
| (1) ...oldalaik rendre megegyeznek:
a = a', b = b', c = c'
|
 |
| (2) ...két oldalukban és a közbezárt szögben
rendre megegyeznek:
pl.: a = a', b = b', γ = γ'
|
 |
| (3) ...két oldalukban és a nagyobbikkal szemközti
szögben rendre megegyeznek:
pl.: a = a', b = b', α = α' és a > b
|
 |
| (4) ...egy oldalukban és a rajta fekvõ két
szögben rendre megegyeznek:
pl.: a = a', β = β', γ = γ'
|
 |
A kivételek
Felületesen nézve talán úgy érezhetjük, hogy két háromszög egybevágóságához elég lenne, ha három különbözõ alapadatukban megegyeznének. Figyelmesebben tekintve azonban látszik két kivétel.
| Két háromszög nem biztosan
egybevágó, ha szögeik rendre megyegyeznek.
Gondoljunk pl. egy háromszögvonalzó külsõ, ill. belsõ élei
által alkotott háromszögekre! |
 |
| Két háromszög nem biztosan
egybevágó, ha két oldalukban és a kisebbikkel szemközti
szögükben rendre megyegyeznek.
Indoklás: (1) Tekintsünk egy ACX
egyenlõszárú Δ-et! (2) A háromszög alapjának az X-en túli meghosszabbításán jelöljünk ki egy tetszõleges B pontot! (Kattintás az ábrán.) (3) Az AB szakaszt jelölje c, a B-nél keletkezõ szöget β. (Katt.) |
 |
(4) A keletkezõ ABC és ABX háromszögek (kattintás) megegyeznek két oldalukban (b = b és c ≡ c) és a kisebbikkel szemközti szögükben (β ≡ β), de nyilván nem egybevágóak.