A geometria elsõ lépései - az ókor

A 'geometria' ógörög szó, Jelentése: földmérés-tan. Õsi tudomány, melynek eredete homályba vész. Amióta civilizációk vannak, azóta létezik. Alapvetõ felhasználási területei a régi idõkben:

Ahol ezek megjelennek, ott geometria is van. Kezdetekben a geometria tudománya észrevételeken és azok tudatos alkalmazásán alapult. Pl. az ókóri egyiptomiak is tudták, hogy ha egy háromszög oldalai rendre 5, 12 és 13 egység hosszúak, akkor a két kisebb oldal derékszöget zár be. Ezzel nagyon pontos derékszög jelölhetõ ki, amit láthatunk pl. a piramisoknál.

De az észrevételt - tudomásunk szerint - nem bizonyították.


A milétoszi Thálész
(Kr.e 624? - 548?)

Õ az elsõ ismert matematikus, aki állításait (tételeit) bizonyította.
Kereskedõként beutazta az akkori mûvelt világot Mezopotámiától Egyiptomig.

A számoszi Püthagorasz
(Kr.e. 560? - 480?)

Az ókor talán legismertebb matematikusa. Zene- és számelmélettel, valamint geometriával foglalkozott. Hadifogolyként 7 évet élt Babilonban. Lehet, hogy Thálész is tanította, de errõl nincs ismeretünk. Járt Egyiptomban, az ottani mestereknél.

Állításait a kor követelményei szerint precízen indokolta (bizonyította).

 Az ókori görögország

Az axiómák

A görögök geometriája sokat fejlõdött a Kr.e. VI. sz.-tól, és e fejlõdés során a matematikusok mindannyian törekedtek tételeik helyes indoklására. Valószínûleg a sok vita közben alakult ki azon alapigazságok rendszere, amelyet mindannyian elfogadtak, igaznak teikintettek. Ezeket nevezték axiómáknak. Az elsõ axiómagyûjtemény, amely ránk maradt az alexandriai Euklidesztõl származik.

Euklidesz (Kr.e. 365? - 300?)

Euklidesz
 A Nílus-deltában fekvõ Alexandriában élt. Fõ mûve az Elemek címet viseli, mely összefoglalja kora matematikáját. Elképzelésünk szerint nem teljesen a saját mûve, abban sok helyütt felfedezhetõ Eudoxos és Archimédesz keze nyoma is. Mindez persze nem kissebbíti érdemeit. Egészen a XIX. sz.-ig ezt a könyvet tekintették a matematika alapmûvének, az abban lefektetett axiómarendszert a geometria alapjának.

Tiszteletére az õ axiómaendszerére épülõ geometriát Euklideszi geometriának nevezzük.

Könyvében (korának szintjén) pontosan rögzítette azokat az alapigazságokat (axiómákat), amelyekbõl a geometria tételeit le kell vezetni. Ezek a következõk:
  1. Követeltessék meg, hogy minden pontból minden pontba egy és csak egy egyenes legyen húzható.
  2. És hogy véges egyenes vonal egyenesben folytatólag meghosszabbítható legyen.
  3. És hogy minden középponttal és minden távolsággal (mint sugárral) legyen kör rajzolható.
  4. És hogy minden derékszög egymással egyenlõ legyen.
  5. És hogy ha két egyenest úgy metsz egy harmadik, hogy az egyik oldalon fekvõ belsõ szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak. (Párhuzamossági axióma.)

Ez az öt axióma az, amire a geometria épült a XIX.sz.-ig. A levezethetõ állítások (tételek) néha igen meglepõek voltak, pl., hogy a Föld gömbölyû (Eratosztenész), vagy hogy a világegyetem középpontja a Nap (Kepler), stb. Az axiómarendszer I-IV. axiómáit nehéz volna vitatni, az egyetlen megkérdõjelezhetõ axióma az V. volt.
Két és fél ezer évig volt a geometria egyik fõ kutatási területe az, hogy az elsõ négy axiómából nem lehet-e bizonyítani az ötödiket.

A párhuzamossági axióma problémája (lenyitható ablakban) - kiegészítõ anyag: (megjelenik)↓ (eltûnik)↑

A párhuzamossági axióma átfogalmazásai

Az ilyen átfogalmazások ekvivalensek (egyenértékûekûek) az eredetivel. Céljuk kettõs:
Néhány ilyen egyenértékû megfogalmazás:
1. Ha adott a síkon egy egyenes (e) és egy rajta kívûl fekvõ pont (P), akkor van a síkon egy és csakis egy olyan P-n átmenõ egyenes, amely az e-t nem metszi.

Párhuzamosság

2. Bármely háromszög belsõ szögeinek összege 180o.

stb.

Az I-IV. axiómákból bizonyított tételek összességét, tehát az ezekkel felépített geometriát abszolút geometriának nevezték. A cél az volt, hogy ebben a geometriában talán tételként megjelenne egy az V. axiómával egyenértékû állítás. Ez majdnem sikerült is. De a majdnem az nem...

Bolyai János magyar matematikus igazolta a XIX. sz.-ban, hogy az I-IV. axiómákból az V. nem bizonyítható. Ez talán a matematikatörténet elsõ bizonyításelméleti bizonyítása.

Az õ alapötlete az volt, hogy az I-IV. axiómákból, és az V. megtagadásából épített tételeket, geometriát. Várakozása az volt, hogy ha itt egyszer csak ellentmondásra jutna, azzal indirekt módon bizonyíthatná az V. axióma igazságát.

Ez a geometria elsõ látásra nagyon meghökkentõ. (Pl. a háromszög szögösszege kevesebb 180 foknál!) Bolyai hiperbolikus geometriának nevezte. (Ma szokásos a Bolyai-geometria elnevezés is.) E furcsa geometria tételeire alapozva igazolta fenti, alapvetõ állítását.

Bolyai János

Az Euklideszi axiómarendszerre épülõ bizonyításokat mai szemmel kissé kritikusan tekintjük. Az axiómarendszer erõsen hiányos, az arra épülõ bizonyítások igen sokszor a szemléleten alapulnak.
Az Euklideszi geometriát mai ízlésünknek megfelelõen precízen megalapozó axiómarendszert a XX. sz. elején Hilbert (német matematikus) fogalmazta meg. Ez a Hilbert-féle axiómarendszer. Tartalmát tekintve semmi újat nem ad, csak sokkal precízebb, pontosabb.

Praktikusan (pl. középiskolai matematika órán) állításainkat nem vezetjük vissza az axiómákig (sem az Euklidesziekre, sem a Hilbert-félékre), mert az igen hosszadalmas lenne. Helyette más, a szemléletünknek igen megfelelõ alapigazságokat fogadunk el. Ezek persze bizonyíthatók lennének, de a szemléletre támaszkodva is jól "hihetõk". Általánosan elfogadott állításaink tehát a következõk: