5. óra: Halmazmûveletek
A mûvelet - hasonlóan a számokhoz - valami olyan hozzárendelési szabály, ami két objektumból egy harmadikat 'csinál'. Pl. két szám összege, vagy szorzata egy harmadik. Ezek a kétváltozós mûveletek. Vannak egyváltozós mûveletek is, amelyek egy számból egy másikat 'csinálnak'. Pl. a négyzetgyök.
Halmazok esetében is hasonló a helyzet, a kétváltozós mûveletek két halmazból egy harmadikat 'gyártanak', az egyváltozós mûveletek egy halmazból egy másikat.
Fussuk át a legfontosabbakat!
Metszet
Értelmezés:
Az \(A\) és \(B\) halmazok metszete (közös része)
azokból az elemekbõl áll, amelyek mindkét halmazban megvannak. (Kattintás az ábrán!) Matematikai jelöléssel: \[ A\cap B :=\left\{x\,\big|\,x\in A\text{ és }x\in B\right\} \] |
Két
halmaz metszete (katt.!)
|
akkor azt mondjuk, hogy a két halmaz diszjunkt.
1. példa: Legyen \(A\) a 2-vel osztható számok
halmaza, \(B\) pedig a 3-mal osztható számok halmaza.
Ekkor \(A\cap B\) a 6-tal osztható számok halmaza lesz. (Ezek azok a
számok, amik 2-vel és 3-mal is oszthatók.)
2. példa: Legyen \(C=[-1;2]\) és \(D=]1;7[\).
Ekkor \(C\cap D = ]1;2]\).
Unió
Értelmezés:
Az \(A\) és \(B\) halmazok uniója (egyesítése) azokból
az elemekbõl áll, amelyek valamelyik halmazban megvannak. (Kattintás az ábrán!) Matematikai jelöléssel: \[ A\cup B :=\left\{x\,\big|\,x\in A\text{ vagy }x\in B\right\} \] |
Két
halmaz uniója (katt.!)
|
1. példa: Legyen \(A\) a 9.A tanulóniak halmaza,
\(B\) pedig a 9.B tanulóinak halmaza.
Ekkor \(A\cup B\) a 9. évfolyam diákjainak halmaza lesz.
2. példa: Legyen \(C=[-1;2]\) és \(D=]1;7[\).
Ekkor \(C\cup D = [-1;7[\).
Kivonás, vagy különbségképzés
Értelmezés:
Ha az \(A\) halmazból kivonjuk a \(B\) halmazt, az
eredményhalmaz \(A\)-nak azokat az elemeit tartamlazza, amelyek
nincsenek a \(B\)-ben. (Kattintás
az ábrán!) Matematikai jelöléssel: \[ A\setminus B :=\left\{x\in A\,\big|\,x\notin B\right\} \] |
Az
\(A\) mínusz \(B\) halmaz (katt.!)
|
1. példa: Legyen \(A\) a 2-vel osztható számok
halmaza, \(B\) pedig a 3-mal osztható számok halmaza.
Ekkor \(A\setminus B\) a 6-tal nem osztható osztható páros számok
halmaza lesz. (Ezek azok a számok, amik 2-vel oszthatók, de 3-mal nem.)
2. példa: Legyen \(C=[-1;2]\) és \(D=]1;7[\).
Ekkor \(C\cap D = [-1;1]\).