4. óra: Részhalmazok I.

Például a 9.A német haladó csoportja részhalmaza a 9.A osztálynak.

Vagy pl. a múlt órákon tanult nevezetes számhalmazok között fennállnak az alábbi tartalmazási relációk:
\[
\mathbb N \subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R
\]Az irracionális számok \(\mathbb Q^*\) halmaza ebbõl egy kicsit kilóg, \(\mathbb Q^*\subset \mathbb R\), de a többiekhez semmi köze.

 

Részhalmazok megadása tulajdonsággal

Ha egy részhalmazt meg akarunk adni, a legjobb eljárás, ha megnevezzük a halmazt (amelynek részét kívánjuk) és megadjuk azt a tulajdonságot, amely kijelöli a részhalmazba felvenni kívánt elemeket.
Ennek matematikai jelekkel való leírása (itt \(H\) egy halmaz, \(T(x)\) pedig egy azonértelmezett tuljdonság):
\[
\left\{x\in H\,\big|\,T(x)\right\}
\]Olvasata: ,,azon x elemek a H-ból, melyek rendelkeznek a T(x) tulajdonsággal.''

Megjegyzés: A ,,\(\big|\)'' helyett a kettõspont is használható.

Példák

1. A pozitív számok halmaza: \(A=\left\{x\in\mathbb R\,\big|\,x>0\right\}\);

2. A hárommal osztható egész számok halmaza: \(B=\left\{n\in\mathbb Z\,:\,3\mid n\right\}\);
(Itt azért használtunk kettõspontot, mert a függõleges vonalat az oszthatóság jelére tartjuk fenn.)

3. Az irracionális számok egy ilyen módon történõ leírása: \(\mathbb Q^*=\left\{x\in\mathbb R\,\big|\,x\notin\mathbb Q\right\}\);

 

Intervallumok

Ezekre külön jelöléseket vezettek be a matematikában.

Nézzük!

Szakasz-jellegû intervallumok

Megnevezzük a szakasz alsó és felsõ végpontját, és jelöléssel tudatjuk, hogy a végpontok közül melyik tartozik hozzá az intervallumhoz. (A jelölésben mindig az alsó határ áll elöl.)

---

Zárt intervallum: Mindkét végpont az intervallumhoz tartozik. Pl.: \(\left[2;5\right]\). Olv.: ,,kettõ-öt zárt intervallum''.
Halmazelméleti jelekkel: \(\left[2;5\right] = \left\{x\in\mathbb R\,\big|\,2\le x\le5\right\}\)
Rajzban: (A szakasz két végét 'teli pötty' zárja le.)

---

Nyílt intervallum: Egyik végpont sem tartozik az intervallumhoz. Pl.: \(\left]-1;3\right[\) vagy \(\left(-1;3\right)\). Olv.: ,,mínusz egy-három nyílt intervallum''.
Halmazelméleti jelekkel: \(\left]-1;3\right[ = \left\{x\in\mathbb R\,\big|\,-1< x<3\right\}\)
Rajzban: (A szakasz két végét 'üres karika' zárja le.)

---

Balról zárt, jobbról nyílt intervallum: Az alsó (bal) végpont az intervallumhoz tartozik, a felsõ (jobb) végpont nem. Pl.: \(\left[\frac12;4\right[\) vagy \(\left[\frac12;4\right)\). Olv.: ,,egyketted-négy balról zárt, jobbról nyílt intervallum''.
Halmazelméleti jelekkel: \(\left[\frac12;4\right) = \left\{x\in\mathbb R\,\big|\,\frac12\le x<4\right\}\)
Rajzban: (Bal végét 'teli', jobb végét 'üres karika' zárja le.)

---

Balról nyílt, jobbról zárt intervallum: Az alsó (bal) végpont nem tartozik az intervallumhoz, a felsõ (jobb) végpont viszont igen. Pl.: \(\left]-2;1{,}5\right]\) vagy \(\left(-2;1{,}5\right]\). Olv.: ,,mínusz kettõ-másfél balról nyílt, jobbról zárt intervallum''.
Halmazelméleti jelekkel: \(\left]-2;1{,}5\right] = \left\{x\in\mathbb R\,\big|\,-2< x\le 1{,}5\right\}\)
Rajzban: (Bal végét 'üres', jobb végét 'teli karika' zárja le.)

 

Félegyenes jellegû intervallumok

Az ilyen intervallum egyik vége egy valós szám, a másik csak egy irány, melyet a '\(\infty\)' vagy a '\(-\infty\)' szimbólum jelöl. Ezek a szimbólumok nem valós számok, ezért õket sohasem vehetjük hozzá az intervallumhoz. (A félegyenes szimbólum felõli vége mindig nyílt!)

Példák:

A 2-nél nagyobb számok halmaza: \(\left[2;\infty\right[\) vagy \(\left[2;\infty\right) = \left\{x\in\mathbb R\,\big|\,2\le x\right\}\)

A 2-nél kisebb számok halmaza: \(\left]-\infty;2\right[\) vagy \(\left(-\infty;2\right) = \left\{x\in\mathbb R\,\big|\,x<2\right\}\)

Stb.