2. óra: Halmazelmélet: nevezetes számhalmazok I.

A halmazelmélet a matematika alapozó ága. Mi most elsõsorban jelöléseket, jeleket fogunk tanulni.

Ennél azért mondhatunk kicsit többet: A halmaz, valamilyen dolgok összessége.

Nem az elemek a halmaz, hanem azok összessége. Mint egy doboz, amiben dolgok vannak...

Másrészt a matematika precíz tudomány. Szóval csak azt mondjuk halmaznak, aminek az elemei egyértelmûen meghatározottak:

• pl. a hárommal osztható pozitív egészek, az egy halmaz, mert egyértelmû, hogy mik az elemei;
• de pl. a 'kedves fiúk a Deák téren' az nem halmaz, mert homályos, hogy kik/mik az elemei.

A halmazokat többféleképp is megadhatjuk.

I. Névvel és jelöléssel ellátott hamazok: Nevezetes számhalmazok

Nagyon kivételes halmazoknak saját nevük és jelük van. Ezek a következõk:

1. Természetes számok. Jele: \(\mathbb N\). A halmaz elemei a pozitív egészek és a nulla.
    
2. Egész számok. Jele: \(\mathbb Z\). A halmaz elemei a pozitív és negatív egészek, valamint a nulla.
    
3. A racionális számok. Jele: \(\mathbb Q\). A halmaz elemei a két egész szám hányadosaként felírható számok.

A racionális számok halmaza

Az értelmezés azt mondja, hogy azok a számok racionálisak, amely felírhatók két egész szám hányadosaként.

Na de kik ezek?

1. észrevétel: A közönséges törtek, pl. \(\tfrac34\) biztosan racionálisak, hisz a jelölésük épp' azt mutatja, hogy két egész szám hányadosai; pl. a \(\tfrac34\) a 3 és a 4 hányadosa.

1. probléma: Mivel \(\tfrac34=0{,}75\), azért nyilván a 0,75 is racionális - hisz' ugyanaz, mint a \(\tfrac34\). (Vagyis a 0,75 is felírható két egész szám hányadosaként - ha most nem is úgy írtuk fel.)

Gondolat: A racionális számok pontosan azok a tizedes törtek, akik végesek, vagy végtelenek, de szakaszosak. (Azaz a tizedesjegyek valahonnan kezdve valamilyen fix hosszûságú szakaszonkét ismétlõdnek. Pl. 5,18242424242424...)

Ez jó gondolat, de indoklásra szorul. Pontosan szólva, itt két dolgot kell megindokolnunk:

Indoklás: Ha két egész számot elosztunk egymással, akkor kéféle kimenet lehetséges:

1. lehetõség: az osztás egy idõ után véget ér, azaz nem marad semmi. Például: 11 : 8. Nézzük hogyan is alakul ez!
\[
\begin{array}{cccccccccc}
1&1&:&8&=&1&,&3&7&5\\
&3&0&&&&&&&\\
&&6&0&&&&&&\\
&&&4&0&&&&&\\
&&&&0&&&&&
\end{array}
\]
Ebben az esetben a két egész szám hányadosa véges tizedes tört. (Ide tartoznak az egészek is.)

2. lehetõség: Az osztás sosem ér véget. (Sosem marad nulla.) Például 11:7. Nézzük!
\[
\begin{array}{cccccccccccccc}
1&1&:&7&=&1&,&5&7&1&4&2&8&\dots\\
&4&0&&&&&&&&&&&\\
&&5&0&&&&&&&&&&\\
&&&1&0&&&&&&&&&\\
&&&&3&0&&&&&&&&\\
&&&&&2&0&&&&&&&\\
&&&&&&6&0&&&&&&\\
&&&&&&&4&&&&&&\\
\end{array}
\]
A 4, mint maradék újra bejött!

Ez azt jelenti, hogy ez az osztás sosem ér véget, de az eredmény 6-hosszú szakaszonként ismétlõdni fog, hiszen hatosával mindig ugyanaz lesz a maradék:
\[
11:7 = 1{,}571428571428571428571428\ldots = 1{,}\dot{5}7142\dot{8}
\]A végtelen szakaszos tizedes törtet úgy írjuk le, hogy az ismétlõdõ szakasz elsõ és utolsó jegye fölé egy pöttyöt teszünk.

De miért lesz ez biztosan és mindig így?

Azért, mert ha egy egész számmal osztunk, akkor mindig csak az osztónál kisebb maradékok fordulhatnak elõ, márpedig azok csak véges sokan vannak. Véges sok maradék végtelen sokáig pedig csak úgy lehet, ha egyszer csak van ismétlõdés.

Néhány példa a végtelenül ismétlõdõ szakasz jelölésére:
\begin{equation}
\begin{split}
15{,}2306306306306306\ldots &= 15{,}2\dot{3}0\dot{6}\\
\text{vagy}\\
0{,}0578112211221122\ldots &= 0{,}0578\dot{1}12\dot{2}
\end{split}
\end{equation}

(Hátra van még a másik állítás, miszerint ha véges vagy végtelen de szakaszos egy tizedes tört, akkor két egész szám hányadosa. Ezt majd a 3. órán tisztázzuk.)