28. óra: Sorozat határértéke, monotonitása
Egyelõre ennyi van kész, nézegesség ezeket. Folyamatosan bõvül majd, szóval néha frissítsék az oldalt!
Jó munkát!
1. feladat: Legyen a
\(\mathcal H\) halmaz az \(\frac{n-1}{n+2}\) sorozat értékkészlete
(tagjainak a halmaza):
\[
\mathcal H:=\left\{\left.\frac{n-1}{n+2}\,\right|\,n\in\mathbb N \right\}
\]
A) Mutassa meg, hogy a \(\mathcal H\) halmaz alulról és felülrõl is korlátos. Adjon meg egy konkrét alsó és felsõ korlátot.
B) Mi lehet a \(\mathcal H\) halmaz legnagyobb alsó, ill. legkisebb felsõ korlátja? Azaz:
\[
\inf \mathcal H=\text{ ?}\hphantom{00000000000000000000}\sup\mathcal H = \text{ ?}
\]
\[
\mathcal H:=\left\{\left.\frac{n-1}{n+2}\,\right|\,n\in\mathbb N \right\}
\]
A) Mutassa meg, hogy a \(\mathcal H\) halmaz alulról és felülrõl is korlátos. Adjon meg egy konkrét alsó és felsõ korlátot.
B) Mi lehet a \(\mathcal H\) halmaz legnagyobb alsó, ill. legkisebb felsõ korlátja? Azaz:
\[
\inf \mathcal H=\text{ ?}\hphantom{00000000000000000000}\sup\mathcal H = \text{ ?}
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
2. feladat: Jelölje
\(\mathcal L\) azoknak a racionális számoknak a halmazát, amelyekre a
2-t emelve 3-nál nem kapunk többet:
\[
\mathcal L:=\left\{\left.\frac{p}q\in\mathbb Q\,\right|\,2^{\frac{p}q}\le3\right\}
\]
A) Mutassa meg, hogy az \(\mathcal L\) halmaz alulról nem korlátos.
B) Mutassa meg, hogy az \(\mathcal L\) halmaz felülrõl korlátos.
C) Mi lehet az \(\mathcal L\) legkisebb felsõ korlátja? \(\sup\mathcal L = \text{ ?}\)
D) Eleme-e az \(\mathcal L\) legkisebb felsõ korlátja az \(\mathcal L\)-nek?
\[
\mathcal L:=\left\{\left.\frac{p}q\in\mathbb Q\,\right|\,2^{\frac{p}q}\le3\right\}
\]
A) Mutassa meg, hogy az \(\mathcal L\) halmaz alulról nem korlátos.
B) Mutassa meg, hogy az \(\mathcal L\) halmaz felülrõl korlátos.
C) Mi lehet az \(\mathcal L\) legkisebb felsõ korlátja? \(\sup\mathcal L = \text{ ?}\)
D) Eleme-e az \(\mathcal L\) legkisebb felsõ korlátja az \(\mathcal L\)-nek?
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
3. feladat: Legyen
\(q\in\mathbb R\), és tekintsük az alábbi számokat: \(1\), \(q\),
\(q^2\).
Legyen továbbá \(\mathcal Q\) azoknak a \(q\in\mathbb R\) számoknak a halmaza, melyekre az \(1\), \(q\), \(q^2\) hosszúságú szakaszokkal, mint oldalakkal háromszög szerkeszthetõ.
A) Igazolja, hogy a \(\mathcal Q\) halmaz korlátos. (Azaz alulról és felülrõl is korlátos.) Adjon meg egy alsõ ill. felsõ korlátot!
B) Mi lehet a \(\mathcal Q\) halmaz legnagyobb alsó ill. legkisebb felsõ korlátja?
\[
\inf \mathcal Q=\text{ ?}\hphantom{00000000000000000000}\sup\mathcal Q = \text{ ?}
\]
Legyen továbbá \(\mathcal Q\) azoknak a \(q\in\mathbb R\) számoknak a halmaza, melyekre az \(1\), \(q\), \(q^2\) hosszúságú szakaszokkal, mint oldalakkal háromszög szerkeszthetõ.
A) Igazolja, hogy a \(\mathcal Q\) halmaz korlátos. (Azaz alulról és felülrõl is korlátos.) Adjon meg egy alsõ ill. felsõ korlátot!
B) Mi lehet a \(\mathcal Q\) halmaz legnagyobb alsó ill. legkisebb felsõ korlátja?
\[
\inf \mathcal Q=\text{ ?}\hphantom{00000000000000000000}\sup\mathcal Q = \text{ ?}
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
4. feladat: Legyen a
\(b_n\) sorozat a következõ:
\[
b_n = \frac{n^2}{2^n}, \hphantom{000} n\in\mathbb N
\]
A sorozat elsõ néhány tagja (az indexelés a 0-val kezdõdik): \(0;\,\frac12;\,1;\,\frac98;\,1;\,\frac{25}{32};\,\frac{9}{16};\,\ldots\)
A) Bizonyítsa be, hogy a sorozat a harmadik tagtól kezdve szigorúan monoton fogy.
B) Igazolja, hogy ha a sorozat elsõ három tagját elhagyjuk, akkor is a legnagyobb alsó korlátja a zérus, azaz: \[
\inf_{n=4}^{\infty}(b_n)=0
\]
\[
b_n = \frac{n^2}{2^n}, \hphantom{000} n\in\mathbb N
\]
A sorozat elsõ néhány tagja (az indexelés a 0-val kezdõdik): \(0;\,\frac12;\,1;\,\frac98;\,1;\,\frac{25}{32};\,\frac{9}{16};\,\ldots\)
A) Bizonyítsa be, hogy a sorozat a harmadik tagtól kezdve szigorúan monoton fogy.
B) Igazolja, hogy ha a sorozat elsõ három tagját elhagyjuk, akkor is a legnagyobb alsó korlátja a zérus, azaz: \[
\inf_{n=4}^{\infty}(b_n)=0
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
5. feladat: Tekintsük az
alábbi \(a_n\) sorozatot:
\[
a_n = \frac{2^n}{n!}, \hphantom{000} n\in\mathbb N
\]
A sorozat elsõ néhány tagja (az indexelés a 0-val kezdõdik): \(1;\,1;\,2;\,\frac12\,;\frac16;\,\frac1{24};\,\ldots\)
A) Igazolja, hogy az \(a_n\) sorozat szigorúan monoton fogy a második tagtól kezdve.
B) A nulla nyilván alsó korlátja a sorozatnak, de mutassa meg, hogy az a legnagyobb alsó korlátja!
\[
a_n = \frac{2^n}{n!}, \hphantom{000} n\in\mathbb N
\]
A sorozat elsõ néhány tagja (az indexelés a 0-val kezdõdik): \(1;\,1;\,2;\,\frac12\,;\frac16;\,\frac1{24};\,\ldots\)
A) Igazolja, hogy az \(a_n\) sorozat szigorúan monoton fogy a második tagtól kezdve.
B) A nulla nyilván alsó korlátja a sorozatnak, de mutassa meg, hogy az a legnagyobb alsó korlátja!
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
6. feladat
A) Igazolja, hogy a \(g_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) \((n\in\mathbb N)\) sorozat szigorúan monoton fogyó.
B) Mi a sorozat legnagyobb alsó korlátja? \(\left(\inf g_n = \text{ ?}\right)\)
A) Igazolja, hogy a \(g_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) \((n\in\mathbb N)\) sorozat szigorúan monoton fogyó.
B) Mi a sorozat legnagyobb alsó korlátja? \(\left(\inf g_n = \text{ ?}\right)\)
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
7. feladat: Bizonyítsa be, hogy az
\[
y_n = \left(1-\tfrac1n\right)^n; \hphantom{000}n\in\mathbb N^+
\]sorozat
A) szigorúan monoton nõ;
B) korlátos. (Ami azt jelenti, hogy alulról is, felülrõl is az.)
\[
y_n = \left(1-\tfrac1n\right)^n; \hphantom{000}n\in\mathbb N^+
\]sorozat
A) szigorúan monoton nõ;
B) korlátos. (Ami azt jelenti, hogy alulról is, felülrõl is az.)
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
8.feladat: Bizonyítsa be,
hogy ha egy \(a_n\) sorozat konvergens, akkor kolrálos.
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
9. feladat
A) Írja fel a 8. feladatban megfogalmazott állítás megfordítását!
B) Döntse el a megfordítás logikai értékét! (Igaz, vagy nem?) Döntését indokolja!
A) Írja fel a 8. feladatban megfogalmazott állítás megfordítását!
B) Döntse el a megfordítás logikai értékét! (Igaz, vagy nem?) Döntését indokolja!
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Eltûnõ doboz
10. feladat: Adjon példát
olyan sorozatra, amely konvergens, de nem teljesíti a Weierstrass-féle
konvergenciakritésium feltételét.
(Ezzel igazolva, hogy a Weierstrass-féle konvergencikritérium elégséges, de nem szükséges feltétele a konvergenciának.)
(Ezzel igazolva, hogy a Weierstrass-féle konvergencikritérium elégséges, de nem szükséges feltétele a konvergenciának.)
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Eltûnõ doboz
