1. feladat:
 
A) Összeg-alakban (a zárójeleket bontsa fel, az együtthatókat számolja ki) adja meg a következõ polinomot
\[
(x+1)^8 =
\]
B) Igazolja az alábbi összefüggést:
\[
\binom80 + \binom81 + \binom82 + \binom83 + \binom84 + \binom85 + \binom86 + \binom87 + \binom88 = 2^8
\]

Késõbb...

2. feladat: Legyen \(a\) és \(b\) két tetszõleges, pozitív valós szám. Igazolja két tagra a mértani és a harmonikus közép közti egyenlõtlenséget, miszerint a harmonikus közép mindig kisebb-egyenlõ a mértaninál, és egyenlõség pontosan akkor áll, ha a két szám egyenlõ.

Késõbb...

3. feladat: Bizonyítsa be az alábbi általános összefüggést.
\[
\binom{n}0 + \binom{n}1 +  \ldots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}n = 2^n;\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]Azaz, hogy a Pascal-háromszög n-edik sorában álló számok összege \(2^n\) (ha a sorok számozását a 0-val kezdjük).

Késõbb...

4. feladat: Bizonyítsa be az alábbi általános egyenlõtlenségeket. ('Általános' abban az értelemben, hogy a változóira tett feltételek mellett azok tetszõleges értéke esetén igaz.)
\begin{equation}
\begin{split}
&\mathbf{(A)}\hphantom{00000}a+\frac1a\ge2, \text{és egyenlõség akkor és csak akkor áll fenn, ha }a=1;\hphantom{000}a\in\mathbb R,\,a>0\\\\
&\mathbf{(B)}\hphantom{00000}\frac{a}b + \frac{b}c + \frac{c}a \ge3;\hphantom{000}a,b,c\in\mathbb R,\,a,b,c>0
\end{split}
\end{equation}

Késõbb...

5. feladat: Bizonyítsa be az alábbi általános összefüggést.
\[
\binom{n}0 - \binom{n}1 +  \binom{n}2 - \binom{n}3 +  \ldots + (-1)^{n-1}\binom{n}{n-1} + (-1)^n\binom{n}n = 0;\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]Azaz, hogy a Pascal-háromszög n-edik sorában álló számok altarnáló elõjelekkel vett összege zérus (ha a sorok számozását a 0-val kezdjük).
 
Kis magyarázat: Pl. így nézne ki ez az állítás \(n=8\)-ra:
\[
\binom80-\binom81+\binom82-\binom83+\binom84-\binom85+\binom86-\binom87+\binom88=0
\]

Késõbb...