3-4. óra HF.: Teljes indukció, rekurzió
1. feladat: Igazolja az alábbi állításokat:
A) \(\hphantom{000}64\mid3^{2n+2}-8n-9\text{, }\forall n\in\mathbb N\)
B) \(\hphantom{000}99\mid3^{n+3}\cdot2^{2n+2}-108\text{, }\forall n\in\mathbb N\)
A) \(\hphantom{000}64\mid3^{2n+2}-8n-9\text{, }\forall n\in\mathbb N\)
B) \(\hphantom{000}99\mid3^{n+3}\cdot2^{2n+2}-108\text{, }\forall n\in\mathbb N\)
Késõbb...
2. feladat: Igazolja a következõ állítást: \[ 1^2 + 3^2
+ 5^2 + \ldots + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}3\text{, }\forall
n\in\mathbb N^+ \]
Szavakkal: Igazolja, hogy az elsõ n db pozitív páratlan szám négyzetének összege kiszámolható a
\[
\frac{n(2n-1)(2n+1)}3
\]képlettel, ahol n tetszõleges pozitív egész.
Szavakkal: Igazolja, hogy az elsõ n db pozitív páratlan szám négyzetének összege kiszámolható a
\[
\frac{n(2n-1)(2n+1)}3
\]képlettel, ahol n tetszõleges pozitív egész.
Késõbb...
Késõbb...
3. feladat: Jelölje \(S_n\) (\(n\in\mathbb N\)) a
\([0,n]\) intervallumba esõ, nem egyszerûsíthetõ, 3 nevezõjû törtek
összegét! \begin{equation} \begin{split} S_0 &= 0\\\\ S_1 &=
\frac13 + \frac23 = 1\\\\ S_2 &= \frac13 + \frac23 + \frac43 +
\frac53 = 4\\\\ S_3 &= \frac13 + \frac23 + \frac43 + \frac53 +
\frac73 + \frac83 = 9\\\\ &\ldots \end{split} \end{equation} A)
Adja meg az \(S_n\) sorozat rekurzióját!
B) 'Sejtse' meg az \(S_n\) sorozat képletét, majd igazolja teljes indukcióval!
B) 'Sejtse' meg az \(S_n\) sorozat képletét, majd igazolja teljes indukcióval!
Késõbb...
