Az algebrai tört a számláló szorzattá alakítása után egyszerûsíthetõ:
\[
\frac{x^2-10x+9}{x-9} = \left.\frac{(x-1)(x-9)}{x-9}\right|_{x\ne9}=x-1
\]
Ennek már semmi baja \(x=9\) esetén:
\[
\lim_{x\rightarrow9}\frac{x^2-10x+9}{x-9}=\lim_{x\rightarrow9}(x-1) = 9-1 = \underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{8}}}}
\]Az \(x\ne9\) feltételt nem kell kiírni, mert a \(\lim_{x\rightarrow9}\) azt magában foglalja.

Az \(x=1\) a nevezõ zérushelye.
 
A számláló értéke \(x=1\) mellett \(1^2+1+1=3\)
 
Ha 'közeledünk' az 1-hez, a nevezõ közeledik a 0-hoz, míg a számláló a 3-hoz. Egy 3 közeli számot osztva egy 0 közeli számmal (pl. 2,99998 osztva 0,000001) igen nagy számokat fogunk kapni, éspedig hol negatívat, hogy pozitívat - függõen attól, hogy melyik irányból jövünk.
Ilyenkor tehát a hányados 'elszáll' a plusz, vagy mínusz végtelen felé.
 
Válasz: A határérték véges értelemben nem létezik.

A nevezõ az \(x=2\) helyen: \(2-2=0\).
 
A számláló az \(x=2\) helyen: \(2^3-4\cdot2^2+7\cdot2-6=8-16+14-6=0\)
 
Mindkettõ zérus \(\Rightarrow\) van esély a határérték létezésére.
 
Próbáljuk meg egyszerûsítéssel megoldani - azaz keressük meg a számlálóban az \((x-2)\) tényezõt. (Mivel ott a számláló zérus, biztosan meg fogjuk találni.)
A fõtaggal kezdjük, és mindig úgy egészítjük ki, hogy a kettõ együtt osztható legyen \((x-2)\)-vel. Aztán helyrehozzuk a csalást.
\[
\color{darkblue}{x^3-2x^2}\color{darkgreen}{-2x^2+4x}+3x-6 =
\color{darkblue}{x^2(x-2)}\color{darkgreen}{-2x(x-2)}+3(x-2)=
(x-2)(x^2-2x+3)
\]Ez megvan! Nézzük tehát a határértéket:
\[
\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^3-4x^2+7x-6}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{(x-2)(x^2-2x+3)}{x-2}=
\lim_{x\rightarrow2}(x^2-2x+3)=2^2-2\cdot2+3=
\underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{3}}}}
\]

A nevezõ az \(x=-2\) helyen: \((-2)^2+4(-2)+4=4-8+4=0\).
 
A számláló az \(x=-2\) helyen: \((-2)^3+5(-2)^2+7(-2)+2=-8+20-14+2=0\).
 
Mindkettõ zérus \(\Rightarrow\) van esély a határérték létezésére.
 
Egyszerûsítenünk kell a törtet az \((x+2)\) gyöktényezõvel.
 
A nevezõ: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\).
 
A számláló: \(x^3+5x^2+7x+2=\color{darkblue}{x^3+2x^2}\color{darkgreen}{+3x^2+6x}+x+2=\color{darkblue}{x^2(x+2)}\color{darkgreen}{+3x(x+2)}+1(x+2)=\)
\(=(x+2)(x^2+3x+1)\).
 
A határérték ezzel:
\[
\lim_{x\rightarrow-2}\frac{x^3+5x^2+7x+2}{x^2+4x+4}=\lim_{x\rightarrow-2}\frac{(x+2)(x^2+3x+1)}{(x+2)^2} = \lim_{x\rightarrow-2}\frac{x^2+3x+1}{x+2}=\ldots
\]
Még mindig algebrai tört.
 
A nevezõ az \(x=-2\) helyen: \(-2+2=0\).
 
A számláló az \(x=-2\) helyen: \((-2)^2+3(-2)+1=4-6+1=-1\).
 
A nevezõ zérushoz tart, a számláló -1-hez. A fent kiemelt elv szerint tehát...
 
Válasz: A határérték véges értelemben nem létezik.

A nevezõ az \(x=4\) helyen: \(4-3=1\)
 
Hát akkor semmi baj! A nevezõ nem 0, az algebrai törtek pedig a nevezõ zérushelyén kívûl folytonosak \(\Rightarrow\) a határérték megegyezik a helyettesítési értékkel:
\[
\lim_{x\rightarrow4}\frac{x^3+2x^2+4x+3}{x-3} = \frac{4^3+2\cdot4^2+4\cdot4+3}{4-3} =
\frac{64+32+16+3}{1} = \underline{\underline{\color{darkred}{\mathbf{115}}}}
\]