35. óra gyakorlat: Konvergens sorozatok
Mintadolgozat feladatsorok
III. feladatsor
III.1. feladat: Igazolja,
hogy az alábbi sorozat konvergens, és adja meg a határértékét:
\[
a_n = \frac{2n+7}{5-3n};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
\[
a_n = \frac{2n+7}{5-3n};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
III.2. feladat: Tekintsük
a \(b_n=\sqrt[n]{5}\), \(\left(n\in\mathbb N\right)\) sorozatot.
A) Igazolja, hogy a \(b_n\) sorozat konvergens és határértéke 1.
B) Az \(\varepsilon=0{,}0001\) számhoz adjon \(N\in\mathbb N\) küszöbindexet, melyre
\[
\big|\,b_n-1\,\big|<\varepsilon,\text{ ha }n>N
\]
A) Igazolja, hogy a \(b_n\) sorozat konvergens és határértéke 1.
B) Az \(\varepsilon=0{,}0001\) számhoz adjon \(N\in\mathbb N\) küszöbindexet, melyre
\[
\big|\,b_n-1\,\big|<\varepsilon,\text{ ha }n>N
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
III.3. feladat: Legyen a
\(c_n\) sorozat a következõ:
\[
c_n = \left(\tfrac23\right)^n,\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
A) Igazolja, hogy a \(c_n\) sorozat szigorúan monoton fogy és alulról korlátos.
B) Ha az A) feladat megvan, akkor a c_n sorozat a Weierstrass-féle konvergencikritérium szerint konvergens. Jelölje a határértékét \(C\).
Igazolja, hogy \(C=0\).
\[
c_n = \left(\tfrac23\right)^n,\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
A) Igazolja, hogy a \(c_n\) sorozat szigorúan monoton fogy és alulról korlátos.
B) Ha az A) feladat megvan, akkor a c_n sorozat a Weierstrass-féle konvergencikritérium szerint konvergens. Jelölje a határértékét \(C\).
Igazolja, hogy \(C=0\).
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
III.4. feladat: Igazolja,
hogy az alábbi \(d_n\) sorozat konvergens. Adja meg a sorozat
határértékét.
\[
d_n = \frac{n}{3^n}
\]
\[
d_n = \frac{n}{3^n}
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
III.5. feladat: A
\(\varepsilon = 0{,}002\) számhoz adjon \(M\in\mathbb N\) küszöbindexet,
melyre
\[
\frac{3^n}{n!}<\varepsilon,\text{ ha }n>M
\]Vagyis adjon olyan küszöbindexet, amely index utáni tagokra a \(\frac{3^n}{n!}\) sorozat minden tagja biztosan kisebb a megadott \(\varepsilon\)-nál. (Nem a 'legjobb' ilyen küszöbindex kell, csak egy. Egy olyan, amelyre biztosan igaz.)
\[
\frac{3^n}{n!}<\varepsilon,\text{ ha }n>M
\]Vagyis adjon olyan küszöbindexet, amely index utáni tagokra a \(\frac{3^n}{n!}\) sorozat minden tagja biztosan kisebb a megadott \(\varepsilon\)-nál. (Nem a 'legjobb' ilyen küszöbindex kell, csak egy. Egy olyan, amelyre biztosan igaz.)
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
IV. feladatsor
IV.1. feladat: Tekintsük
a
\[
a_n=\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1},\hphantom{000}n\in\mathbb N^+
\]Igazolja, hogy az \(a_n\) sorozat konvergens, és adja meg a határértékét.
\[
a_n=\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1},\hphantom{000}n\in\mathbb N^+
\]Igazolja, hogy az \(a_n\) sorozat konvergens, és adja meg a határértékét.
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
IV.2. feladat: Tekintsük
az alábbi \(H\) halmazt:
\[
\left\{\left.\frac{2n+1}{2n+3}\,\right|\,n\in\mathbb N\right\}
\]
A) Igazolja, hogy a \(H\) halmaz korlátos. Adjon is meg egy alkalmas alsó és felsõ korlátot.
B) Adja meg a halmaz legnagyobb alsó és legkisebb felsõ korlátját!
\[
\inf H = \text{ ?}\hphantom{00000000000000000000}\sup H = \text{ ?}
\]
\[
\left\{\left.\frac{2n+1}{2n+3}\,\right|\,n\in\mathbb N\right\}
\]
A) Igazolja, hogy a \(H\) halmaz korlátos. Adjon is meg egy alkalmas alsó és felsõ korlátot.
B) Adja meg a halmaz legnagyobb alsó és legkisebb felsõ korlátját!
\[
\inf H = \text{ ?}\hphantom{00000000000000000000}\sup H = \text{ ?}
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
IV.3. feladat: Hova tart
az alábbi sorozat?
\[
c_n = \frac{3n^2+4n-10}{2n^3+6n+1},\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
\[
c_n = \frac{3n^2+4n-10}{2n^3+6n+1},\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
IV.4. feladat: Hova tart
az alábbi sorozat?
\[
t_n=\sqrt[n]{100+3^n+5^n},\hphantom{000}n\in\mathbb N^+
\]
\[
t_n=\sqrt[n]{100+3^n+5^n},\hphantom{000}n\in\mathbb N^+
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Eltûnõ doboz
IV.5. feladat: Tekintsük
az alábbi \(f_n\) sorozatot:
\[
f_n=\frac1{d(n)},\hphantom{000}n\in\mathbb N^+,\hphantom{000}\text{ ahol }d(n)\text{ az }n\text{ egész pozitív osztóinak számát jelöli.}
\]
A) Konvergens-e az \(f_n\) sorozat?
B) Adja meg az \(f_n\) sorozat legnagyobb alsó és legisebb felsõ korlátját.
\[
\inf f_n = \text{ ?}\hphantom{00000000000000000000}\sup f_n = \text{ ?}
\]
\[
f_n=\frac1{d(n)},\hphantom{000}n\in\mathbb N^+,\hphantom{000}\text{ ahol }d(n)\text{ az }n\text{ egész pozitív osztóinak számát jelöli.}
\]
A) Konvergens-e az \(f_n\) sorozat?
B) Adja meg az \(f_n\) sorozat legnagyobb alsó és legisebb felsõ korlátját.
\[
\inf f_n = \text{ ?}\hphantom{00000000000000000000}\sup f_n = \text{ ?}
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Eltûnõ doboz
