Mintadolgozat feladatsorok: konvergens sorozatok
I. feladatsor
I.1. feladat: Igazolja,
hogy az alábbi \(a_n\) sorozat konvergens, és adja meg annak \(A\)
határértékét:
\[
a_n = \frac{n^2+5n-7}{2n^3+n^2+5n-10};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
\[
a_n = \frac{n^2+5n-7}{2n^3+n^2+5n-10};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
I.2. feladat:
Tekintsük az alábbi \(b_n\) sorozatot:
\[
b_n = \frac{3n-2}{5-2n};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
A) Igazolja, hogy a sorozat konvergens, és adja meg annak \(B\) határértékét!
B) Adjon \(N\in\mathbb N\) küszöbindexet az \(\varepsilon=0,003\) számhoz, melyre:
\[
\big|\,b_n-B\,\big|<\varepsilon\text{, ha }n>N
\]
\[
b_n = \frac{3n-2}{5-2n};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
A) Igazolja, hogy a sorozat konvergens, és adja meg annak \(B\) határértékét!
B) Adjon \(N\in\mathbb N\) küszöbindexet az \(\varepsilon=0,003\) számhoz, melyre:
\[
\big|\,b_n-B\,\big|<\varepsilon\text{, ha }n>N
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
I.3. feladat:
Igazolja, hogy a
\[
c_n = \sqrt[n]{2^n+3^n};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]sorozat konvergens, és adja meg annak \(C\) határértékét!
\[
c_n = \sqrt[n]{2^n+3^n};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]sorozat konvergens, és adja meg annak \(C\) határértékét!
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
I.4. feladat:
Adjon \(K\in\mathbb N\) küszöbindexet, melyre igaz, hogy
\[
100\sqrt{n}+20 < n,\text{ ha }n>N
\]
\[
100\sqrt{n}+20 < n,\text{ ha }n>N
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
I.5. feladat:
Igazolja, hogy a
\[
d_n=\left(1+\tfrac2n\right)^n;\hphantom{000}n\in\mathbb N^+
\]sorozat szigorúan monoton növõ.
\[
d_n=\left(1+\tfrac2n\right)^n;\hphantom{000}n\in\mathbb N^+
\]sorozat szigorúan monoton növõ.
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
II. feladasor
II.1. feladat:
Tekintsük az alábbi \(a_n\) sorozatot:
\[
a_n = \frac{2n+1}{1-2n};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
A) Igazolja, hogy a sorozat konvergens, és adja meg annak \(A\) határértékét!
B) Adjon \(N\in\mathbb N\) küszöbindexet az \(\varepsilon=0,0005\) számhoz, melyre:
\[
\big|\,a_n-A\,\big|<\varepsilon\text{, ha }n>N
\]
\[
a_n = \frac{2n+1}{1-2n};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]
A) Igazolja, hogy a sorozat konvergens, és adja meg annak \(A\) határértékét!
B) Adjon \(N\in\mathbb N\) küszöbindexet az \(\varepsilon=0,0005\) számhoz, melyre:
\[
\big|\,a_n-A\,\big|<\varepsilon\text{, ha }n>N
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
II.2. feladat: Igazolja,
hogy a
\[
b_n=\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1};\hphantom{000}n\in\mathbb N^+
\]sorozat konvergens, és adja meg annak \(B\) határértékét!
\[
b_n=\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1};\hphantom{000}n\in\mathbb N^+
\]sorozat konvergens, és adja meg annak \(B\) határértékét!
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
II.3. feladat: Igazolja,
hogy a
\[
c_n = \frac{n^2+5}{2n-1};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]sorozat a végtelenbe tart.
\[
c_n = \frac{n^2+5}{2n-1};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]sorozat a végtelenbe tart.
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Késõbb...
II.4. feladat: Bizonyítsa
be, hogy a
\[
d_n = \frac{n!}{(2n)!};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]sorozat nullához tart.
\[
d_n = \frac{n!}{(2n)!};\hphantom{000}n\in\mathbb N
\]sorozat nullához tart.
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Eltûnõ doboz
II.5. feladat: Létezik-e
az alábbi határérték? És ha igen, akkor mennyi lehet?
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(1+\tfrac1{2n}\right)^n} = \text{ ?}
\]
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(1+\tfrac1{2n}\right)^n} = \text{ ?}
\]
Megoldás: (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
Eltûnõ doboz
