123. óra: Halmazok számossága. Injektív és szürjektív függvények

Célunk a halmazok elemszám szerinti összehasonlitása; pontosabban annak kiterjesztése a végtelen elemszámú halmazokra.

Vizsgáltunkat a véges elemszámú halmazokkal kezdjük, abból próbálunk olyan elveket 'leszûrni', melyek a végtelen elemszámok esetén is alkalmazhatók.

Példák

Az üreshalmaz számossága zérus: \(\big|\,\emptyset\,\big|=0\).

Ha \(H=\left\{a;b;c\right\}\), akkor \(\big|\,H\,\big|=3\).

Ezzel a gondolattal az is jól kezelhetõ, ha két véges elemszámú halmaz közül az egyik számossága pl. kisebb; a természetes számok halmazának szokásos rendezése szerint.

De hogyan lehetne ezt úgy értelmezni, hogy végtelen elemszámú halmazok esetén is lehessen ilyesmiket mondani? (Két halmaz elemszáma azonos vagy az egyik halmaz elemszáma kisebb, mint a másiké, stb.)

Valamely fogalom kiterjesztésével nézünk szembe. Ilyenkor alapkövetelmény, hogy úgy definiáljuk a fogalmat a bõvebb körben (ez most a végtelen elemszámú halmazok köre), hogy az új értelmezés a régi körben ugyanazt az eredményt adja.

Hogyan tudnánk két véges elemszámú halmazt összehasonlítani (elemszám szerint) úgy, hogy közben az 'elemszám'-ot, mint természetes számot nem ejtjük ki a szánkon?

Egy gondolat: Két véges elemszámú halmaznak egyforma sok eleme van. (A 'természetes szám'-ok említése nélkül.)

Legyen \(L\) a 11.A osztály lányainak halmaza, \(F\) a fiúké. Jön a szalagavató... A fiúk felkérik a lányokat a keringõre. Ha minden fiú pontosan egy lányt kér fel és a végére minden lányt felkért valaki és minden fiúnak 'jut' lány, akkor kimondhatjuk:

a fiúk és lányok számossága azonos: \(\big|\,L\,\big|=\big|\,F\,\big|\).

A gondolta tehát az, hogy két halmazt akkor  mondunk egyenlõ számosságúnak, ha van köztük olyan függvény, mely kölcsönösen egy-egyértelmû és mindkét halmaz minden elemét kimeríti. (Valami ilyesmi...)

A függvények e tulajdonságai fogjuk most pontosan definiálni.

Például a \(g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R\), \(g(x)=x^2\) függvény nem injektív, mert
\[
2\ne -2\text{, de }2^2=(-2)^2
\]

De például a \(f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R\), \(f(x)=2^x\) függvény injektív, mert
\[
\forall x_1\ne x_2\Longrightarrow 2^{x_1}\ne2^{x_2}
\]

Például az \(m:\mathbb R\rightarrow\mathbb R\), \(m(x)=x^2\) függvény nem szürjektív, mert értékkészlete a nemnegatív számok halmaza, képhalmaza viszont a valós számok halmaza:
\[
R_m=\left[0;\infty\vphantom{\tfrac11}\right)\ne\mathbb R
\]

De például a \(h:\mathbb R\rightarrow\left[0;\infty\vphantom{\tfrac11}\right)\), \(h(x)=x^2\) függvény szürjektív, mert értékkészlete a nemnegatív számok halmaza, és a képhalmaza is az:
\[
R_h=\left[0;\infty\vphantom{\tfrac11}\right)
\]

Megjegyzés: Talán említésre érdemes, hogy az injektivitás/szürjektivitás ténye erõsen függ attól, hogy a függvényt mely halmazok közti leképezésként tekintjük. (Tehát nem csak a 'képlet'-étõl függ ez a dolog...)

Például ilyen a tangens-függvény, ha megszorítjuk a \(\left(-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right)\) nyílt intervallumra:
\[
\text{tg}:\left(-\tfrac\pi2;\tfrac\pi2\right)\rightarrow\mathbb R\text{ bijektív}.
\]

Ezzel már definiálható a halmazok számossága.

Vegyük észre, hogy ez a definíció abszolút értelemben  nem mondja meg, hogy egy végtelen elemszámú halmaznak mennyi számossága, csak azt, hogy ugyanannyi-e, mint egy másiké!

Ezt úgy oldjuk meg, hogy bizonyos 'jól ismert' végtelen elemszámú halmazokra, mint etalon hivatkozunk, és azt mondjuk, hogy ennek vagy annak a halmaznak a számossága ugyanannyi, mint a választott etaloné.