58. óra: A hányadosfüggvény deriváltja

Induljunk ki abból a helyzetbõl, hogy adott két fv.: \(f(x)\) és \(g(x)\), melyeknek létezik a deriváltja: \(f'(x)\) és \(g'(x)\) (és azokat ismerjük is).

Keressük az \(\frac{f(x)}{g(x)}\) képlettel definiált fv. deriváltját. (Feltételezzük, hogy a vizsgált tartományon a \(g(x)\) fv. sehol sem zérus: \(g(x)\ne0\)).

Lássunk neki:
\begin{equation}
\begin{split}
\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' &=
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}} =
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)}}{\Delta x}}=
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta x}}{g(x+\Delta x)g(x)}}=\\\\
&= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta x}}{g(x+\Delta x)g(x)}}=
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x)}{\Delta x}}{g(x+\Delta x)g(x)}}=\\\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\frac{\left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]g(x)-f(x)\left[g(x+\Delta x)-g(x)\right]}{\Delta x}}{g(x+\Delta x)g(x)}}=
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\frac{\left[f(x+\Delta x)-f(x)\right]g(x)}{\Delta x}-\frac{f(x)\left[g(x+\Delta x)-g(x)\right]}{\Delta x}}{g(x+\Delta x)g(x)}}=\\\\
&= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\color{darkgreen}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot g(x)-f(x)\cdot\color{darkblue}{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}}{\color{brown}{g(x+\Delta x)}g(x)}}=
\frac{\color{darkgreen}{f'(x)}\cdot g(x)-f(x)\cdot\color{darkblue}{g'(x)}}{\color{brown}{g(x)}\cdot g(x)}
\end{split}
\end{equation}

Levezetésünk végén négy dolgot kell meggondolnunk:

1. A zöld színnel jelölt kifejezés határértéke:
\[
\color{darkgreen}{\lim_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}} = f'(x)}
\]Ez közvetlenül következik abból, hogy az \(f(x)\) fv. deriválható.

2. A kék színnel jelölt kifejezés határértéke:
\[
\color{darkblue}{\lim_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}} = g'(x)}
\]Ez közvetlenül következik abból, hogy az \(g(x)\) fv. deriválható.

3. A barna színnel jelölt kifejezés határértéke:
\[
\color{brown}{\lim_{\Delta x\rightarrow0}{g(x+\Delta x)}=g(x)}
\]Ennek oka, hogy mivel a \(g(x)\) fv. deriválható, azért folytonos is, azért határértéke egyben a helyettesítési értéke.

4. A szorzatok, összegek és hányadosok határértéke a szorzat, összeg és hányados. Ennek oka az átviteli-elv.