81. óra: A derivált-függvény
A következõ fejtegetés egy fizikusként megismert tudóstól származik: Isaac Newtontól.
A pillanatnyi sebesség fogalma
Van-e értelme egyáltalán annak, hogy pillanatnyi sebesség? Hiszen egy adott idõ alatt megtett út alapján csak átlagsebesség számolható. Ha viszont 0 idõ alatt nézzük, akkor ott a megtett út is 0. Ez az osztásnál gond...
Nézzük, mit értett Newton a pillanatnyi sebességen!
(Vagyis a 0. mp-ben a 0. m-nél van, az 1. mp-ben az 1. m-nél, a 2. m-ben a 4. m-nél, a 3. mp-ben a 9. m-nél, stb.)
(1) Tekintsük az \(x=1\) helyet! Ott a függvényérték 1. (Kattintás az ábrán!)
| (2) Menjünk
egy 'kicsit' odébb! Legyen ez \(\Delta x=1,5\). A hely most az \(1+1,5=2,5\), az érték \(2,5^2=6,25\). (Kattintás!) (3) A 1,5 mp alatt megtett út 6,25 - 1 = 5,25. Az átlagsebesség \[v_{1,5}=\frac{5,25}{1,5}=3,5\] (4) E szám geometriai jelentése a két grafikonpontot összekötõ egyenes (szelõ) meredeksége. (Kattintás!) (5) Legyen most \(\Delta x=0,5\). A hely most az \(1+0,5=1,5\), az érték \(1,5^2=2,25\). (Kattintás!) (6) A 0,5 mp alatt megtett út 2,25 - 1 = 1,25. Az átlagsebesség \[v_{0,5}=\frac{1,25}{0,5}=2,5\]E szám geometriai jelentése a két grafikonpontot összekötõ egyenes (szelõ) meredeksége. |
 |
A hely most az \(1+0,1=1,1\), az érték \(1,1^2=1,21\). (Kattintás!)
(8) A 0,1 mp alatt megtett út 1,21 - 1 = 0,21. Az átlagsebesség
\[v_{0,1}=\frac{0,21}{0,1}=2,1\]E szám geometriai jelentése a két grafikonpontot összekötõ egyenes (szelõ) meredeksége.
(9) Ha most tartunk \(\Delta x\)-szel a zérushoz, akkor - ha létezik - az átlagsebességek határértékét joggal nevezhetjük pillanatnyi sebességnek.
Ennek geometriai jelentése az adott grafikonpontban az érintõ meredeksége. (Kattintás!)
\[
\lim_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{(1+\Delta x)^2-1^2}{\Delta x}} =
\lim_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{1+2\cdot\Delta x + \Delta x^2 -1}{\Delta x}} =
\lim_{\Delta x\rightarrow0}{(2 + \Delta x)} = 2
\]Az adott pontban a test pillanatnyi sebessége 2. (Ez egyben a pontbeli érintõ meredeksége.)
Fogalmak
Legyen \(g(x)\) egy valós függvény, \(x\) az ért. tartomány egy potnja
(\(x\in D_g\)). Legyen \(\Delta x\) olyan, hogy az \(x+\Delta x\) is
\(D_g\)-ben van. A
\[\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\]kifejezést a \(g\) függvény \(x\)
pontbeli, \(\Delta x\)-hez tartozó differenciahányadosának
nevezzük.
\[
\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}
\]határérték. Ezt, ha létezik, a \(g\) függvény x-beli differenciálhányadosának nevezünk.
Ha \(g(x)\) egy valós függvény, és az ért.tartományának minden belsõ pontjában képezzük az \(x\)-beli differenciálhányadost (és az létezik is), akkor ennek értéke pontról pontra változik. Ez tehát szintén egy függvény. (Általában \(g\)-ével azonos ért. tartományon.)
\[
g'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}
\]Neve: a \(g(x)\) függvény deriváltfüggvénye, röviden deriváltja.
A derivált valamely pontban felvett értéke az eredeti függvény grafikonja adott pontbeli érintõjének meredeksége.
Ha a \(g(x)\) függvény értelmezési tartományának minden pontjában létezik a differenciálhányados, vagyis a megfelelõ határérték, akkor azt mondjuk, hogy a \(g(x)\) deriválható.
Egy példa
Határozzuk meg az \(f(x)=x^2\) függvény deriváltfüggvényét!
\begin{equation}
\begin{split}
f'(x) &= \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta
x} =
\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} =
\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{x^2+2\cdot x\cdot\Delta x+\Delta
x^2-x^2}{\Delta x} = \\\\
&= \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\cdot x\cdot\Delta
x+\Delta x^2}{\Delta x} =
\lim_{\Delta x\rightarrow0}{\left(2x+\Delta x\right)} = 2x
\end{split}
\end{equation}
| Ábrázoljuk közös
koordinátarendszerben a két függvényt! \begin{equation} \begin{split} \color{darkred}{f(x)=x^2} \\\\ \color{darkgreen}{f'(x)=2x} \end{split} \end{equation} Jól érzékelhetõ a két függvény közti kapcsolat.
|
 |
