74. óra: Függvény határértéke
A határérték fogalmát egy új szituációban ismerjük meg. A sorozatoknál az \(n\) index a végtelenbe tartott, és azt próbáltuk elkapni, hogy milyen tendencia fedezhetõ fel a tagok értékében. Függvény esetében a vizsgálat tárgya egy véges hely, ahol a fv. értékei húznak egy érték felé - vagy nem (és akkor persze nincs határérték).
Nézzünk néhány konkrét esetet!
1. példa: Vizsgáljuk meg az \(f(x)=\frac{x}x\), \(D_f=\mathbb R\setminus\{0\}\) függvényt az \(x=0\) helyen!
A fv. pont ott nincs értelmezve! De ha közeledünk bármely sorozattal a 0-hoz, - vigyázva, hogy oda be ne lépjünk - akkor a fv.-értékek sorozata (mely most azonosan 1) nyilván egyhez tart.
Fogalmazzzuk ezt meg!
Bármely \(x_n\rightarrow0\), \(x_n\ne0\) sorozat esetén \(f(x_n)\rightarrow1\).
Ezt majd (ha már rendesen definiáltuk) így fogjuk kifejezni:
\[
\lim_{x\rightarrow0}f(x) = 1
\]
Megjegyzés: A példa
nyilván 'faék egyszerû' volt, de most ne arra figyeljünk, hanem a
mögöttes tartalomra! Meg akarjuk ragadni azt a tényt, hogy az \(fx)\)
függvény a 0-ban valahogy 1 'szeretne lenni' - bár a félresikerült
definíció ezt nem hagyja.
2. példa: Tekintsük a \(g(x)=\frac{x^2-7x+10}{x-5}\), \(D_g=\mathbb R\setminus\{5\}\) függvényt az \(x=5\) helyen!
A fv. megint pont ott nincs értelmezve! Mi történne, ha vennénk valamely \(x_n\) sorozatot, amely 5-höz tart, de persze nem lép be az 5-be, és néznénk az ott felvett függvényértékek sorozatát?
Legyen tehát \(x_n\) egy sorozat, melyre \(x_n\rightarrow5\) és persze \(x_n\ne 5,\,\forall n\).
Mielõtt vizsgáljuk a fv.-értékek sorozatát,
vegyük észre, hogy a fv. képlete a számláló szorzattá alakítása után
egyszerûsíthetõ:
\[
g(x)=\frac{x^2-7x+10}{x-5}=\left.\frac{(x-5)(x-2)}{x-5}\right|_{x\ne5}=x-2
\]
Mi történik tehát, ha az \(x_n\) helyeken nézzük a fv.-értékek
sorozatát?
\[
g(x_n)=\underbrace{\frac{x_n^2-7x_n+10}{x_n-5} = x_n-2}_{\text{Most
használjuk ki, hogy: }x_n\ne5}
\stackrel{\text{átv. elv}}{\longrightarrow} 3,\hphantom{00}\text{(mert
hiszen }x_n\rightarrow5\text{ volt.)}
\]
Kaptuk tehát, hogy tetszõleges \(x_n\rightarrow5\), \(x_n\ne5,\,\forall
n\) esetén \(g(x_n)\rightarrow3\).
Ezt majd (ha már rendesen definiáltuk) így fogjuk kifejezni:
\[
\lim_{x\rightarrow5}g(x) = 3
\]
Két lényeges dolgot kell még észrevennünk, mielõtt a definíciót kimondjuk!
1. Az \(x_n\) sorozat minden elemére értelmezett volt a függvény. (Azaz létezett az \(f(x_n)\).)
2. Az \(x_n\) sorozat a vizsgált helyhez tartott.
Ez rendben, de felveti azt a megszorítást, hogy egy függvény
határértékét csak olyan helyen vizsgálhatjuk, ahová tudunk az
értelmezési tartomány elemein tartani.
Pl. a \(\log_2x\) függvény esetében egy negatív x-re, mondjuk a
\(-2\)-re fel sem vethetjük a határérték dolgát, hiszen a fv. csak
pozitív számokra értelmes, és pozitív tagú sorozattal nem lehet a
\(-2\)-höz tartani.
(Vagyis ha lehet \(H\)-beli elemeken az \(a\)-hoz tartani úgy, hogy közben nem megyünk be az \(a\)-ba.)
A torlódási pont nem feltétlenül eleme a halmaznak. Pl. a \(\sqrt{2}\ne\mathbb Q\), de torlódási pontja, mivel tudunk racionális számokon a \(\sqrt{2}\)-höz konvergálni.
És akkor jöjjön a határérték definíciója függvények esetén!
Azt mondjuk, hogy az \(f(x)\) függvénynek az \(a\) helyen a határértéke az \(A\) szám, ha bármely \(x_n\) sorozatra, melyre
- \(\hphantom{00}x_n\rightarrow a\),
- \(\hphantom{00}x_n\ne a\text{, }\forall n\),
- \(\hphantom{00}x_n\in D_f\)
Jele:
\[
\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A
\]
Megjegyzés: A fenti definíció a fv. határértékének szekvenciális
definíciója. Létezik egy másik - ezzel ekvivalens - definíció is,
a topológiai definíció. Ezt a felsõbb matematikában, a valós
számok, vagy más (absztrakt terek) vizsgálatában használjuk, és ott
jobban is alkalmazható. A gimnáziumi tanulmányainkhoz nem sok köze van.
Mégis, a teljesség kedvéért ideírom (ha esetleg kérdezné valaki - aki
biztosan nem én leszek).
A topológiai definíció (megjelenik)
↓ (eltûnik)
↑
\[
\big|\,f(x)-A\,\big|<\varepsilon\text{, ha }\big|\,x-a\,\big|<\delta\text{ és }x\ne a
\]
