Harasztos Barnabás lapja

A kotangens-függvény kiterjesztett értelmezése

Hegyesszög kotangense

- derékszögû háromszögben -

Értelmezés: valamely α hegyesszög kotangense = a szög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó hányadosa abban a derékszögû háromszögben, amelyben α az egyik hegyesszög. Az ábra jelöléseivel:

\[\text{ctg }\alpha := \frac{b}{a}\]

Hegyesszög kotangensének értelmezése a koordináta-rendszerben...

Ha a koordináta-rendszerben tekintünk egy α hegyesszöget mint irányszög és az α irányszögû egyenest, ...

... akkor \(\text{ctg }\alpha\) jelentése: az \(\alpha\) irányszögû egyenes és az \(y=1\) egyenes metszéspontjának elsõ koordinátája.

Magyarázat: (1) Jelölje a metszéspont elsõ koordinátáját x. (Katt. az ábrán.)

(3) Az ábrán kiemelt derékszögû háromszögben (katt.) felírva \(\text{ctg }\alpha\) értelmezését:

\[\text{ctg }\alpha = \frac{x}{1} =x\]

A kotangens értelmezése (majdnem) tetszõleges irányszögre

Értelmezés: Valamely \(\alpha\) irányszög kotangense az \(\alpha\) irányszögû egyenes és az \(y=1\) egyenes metszéspontjának elsõ koordinátája.

Megjegyzés: mivel \(\alpha = 0^\circ\) (és annak bármely \(180^\circ\)-os elforgatottja) esetén az \(\alpha\) irányszögû egyenes nem metszi az \(y=1\) egyenletû egyenest, a fenti definíció \(\alpha = 0^\circ+k\cdot 180^\cdot\) értékû irányszögekre nem értelmezi a kotagenst. E szögekre a kotangens értékét nem értelmezzük.

Ez a definíció bármely \(\alpha\ne k\cdot\pi\), ahol \(k\in\mathbb Z\), elõjeles irányszög esetén értelmezi \(\alpha\) kotangensét. Más szavakkal, értelmeztünk egy valós függvényt (neve: kotangens-függvény): \[\text{ctg }: \mathbb R\setminus\left\lbrace k\cdot\pi\vert k\in\mathbb Z \right\rbrace \longrightarrow \mathbb R\]

A kotangens-függvény kirajzolása

A szöget radiánban mérjük. Miközben a szög növekszik a megfelelõ egységvektor elsõ koordinátája más- és más értéket vesz fel. Ezt illusztrálja a következõ animáció:
(Az x-tengelyen a szög értéke fut radiánban.)

kotangens kirajzolása

A teljes grafikon jó átláthatósága érdekében az x-tengelyen a \(\pi\) többszöröseivel jelöljük a skálát.

A kotangens-függvény tulajdonságai

A kotangens-függvény grafikonja

Értelmezési tartomány: \(D_{\text{ctg }} = \mathbb R\setminus\left\lbrace k\cdot\pi\vert k\in\mathbb Z\right\rbrace\)
(A grafikonon szaggatott vonalak jelzik, hol nincs értelmezve a függvény.)
Értékkészlet: \(R_{\text{ctg }} = \mathbb R\)
(Az \(M\) metszéspont bármilyen magasan, vagy mélyen lehet, a ctg-fv. bármilyen nagy, v. kis értéket felvehet.)
Szélsõérték: nincs. (Az értékkészletnek nincs legnagyobb, ill. legkisebb eleme.)
Zérushely(ei): \(x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi\), \(k\in\mathbb Z\)
Paritás: a függvény páratlan.

Geometriai értelemben: a függvény grafikonja az origóra középpontosan szimmetrikus.
Algebrai értelemben: ha a fv. valamely \(x\) helyen a \(\text{ctg } x\) értéket veszi fel, akkor a \(-x\) helyen annak ellentétét, azaz \(\text{ctg }(-x)=-\text{ctg } x\)

A függvény \(\pi\) szerint periodikus. (Mivel a definícióban szereplõ egyenes \(180^\circ\)-onként ugyanazt a pozíciót veszi fel.)

Geometriai értelemben: a fv. grafikonja \(\pi\) vel eltolva az x tengely pozitív vagy negatív irányába önmagába megy át
Algebrai értelemben: \(\text{ctg } x = \text{ctg }(x+\pi) = \text{ctg }(x-\pi)\)