A kotangens-függvény kiterjesztett értelmezése
Hegyesszög kotangensének értelmezése a koordináta-rendszerben...
| Ha a koordináta-rendszerben tekintünk egy α
hegyesszöget mint irányszög és az α
irányszögû egyenest, ...
... akkor \(\text{ctg }\alpha\) jelentése: az \(\alpha\) irányszögû egyenes és az \(y=1\) egyenes metszéspontjának elsõ koordinátája. Magyarázat: (1) Jelölje a metszéspont elsõ koordinátáját x. (Katt. az ábrán.) (3) Az ábrán kiemelt derékszögû háromszögben (katt.) felírva \(\text{ctg }\alpha\) értelmezését: |
\[\text{ctg }\alpha = \frac{x}{1} =x\]
A kotangens értelmezése (majdnem)
tetszõleges irányszögre
Ez a definíció bármely \(\alpha\ne k\cdot\pi\), ahol \(k\in\mathbb Z\), elõjeles irányszög esetén értelmezi \(\alpha\) kotangensét. Más szavakkal, értelmeztünk egy valós függvényt (neve: kotangens-függvény): \[\text{ctg }: \mathbb R\setminus\left\lbrace k\cdot\pi\vert k\in\mathbb Z \right\rbrace \longrightarrow \mathbb R\]
A kotangens-függvény kirajzolása
A szöget radiánban mérjük. Miközben a szög növekszik a
megfelelõ egységvektor elsõ koordinátája más- és más értéket vesz fel.
Ezt illusztrálja a következõ animáció:
(Az x-tengelyen a szög értéke
fut radiánban.)
A teljes grafikon jó átláthatósága érdekében az x-tengelyen a \(\pi\) többszöröseivel jelöljük a skálát.
A
kotangens-függvény tulajdonságai
- Értelmezési tartomány: \(D_{\text{ctg }} = \mathbb
R\setminus\left\lbrace k\cdot\pi\vert k\in\mathbb Z\right\rbrace\)
(A grafikonon szaggatott vonalak jelzik, hol nincs értelmezve a függvény.) - Értékkészlet: \(R_{\text{ctg }} = \mathbb R\)
(Az \(M\) metszéspont bármilyen magasan, vagy mélyen lehet, a ctg-fv. bármilyen nagy, v. kis értéket felvehet.) - Szélsõérték: nincs. (Az értékkészletnek nincs legnagyobb, ill. legkisebb eleme.)
- Zérushely(ei): \(x=\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi\), \(k\in\mathbb Z\)
- Paritás: a függvény páratlan.
- Geometriai értelemben: a függvény grafikonja az origóra középpontosan szimmetrikus.
- Algebrai értelemben: ha a fv. valamely \(x\) helyen a \(\text{ctg } x\) értéket veszi fel, akkor a \(-x\) helyen annak ellentétét, azaz \(\text{ctg }(-x)=-\text{ctg } x\)
- A függvény \(\pi\) szerint periodikus. (Mivel a definícióban
szereplõ egyenes \(180^\circ\)-onként ugyanazt a pozíciót veszi
fel.)
- Geometriai értelemben: a fv. grafikonja \(\pi\) vel eltolva az x tengely pozitív vagy negatív irányába önmagába megy át
- Algebrai értelemben: \(\text{ctg } x = \text{ctg }(x+\pi) = \text{ctg }(x-\pi)\)