Harasztos Barnabás lapja

A tangens-függvény kiterjesztett értelmezése

A régi definíció

A "régi" alatt étsd: "derékszögû háromszögben hegyesszög tangense".

Értelmezés: valamely α hegyesszög tangense = a szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hányadosa abban a derékszögû háromszögben, amelyben α az egyik hegyesszög. Az ábra jelöléseivel:

\[\text{tg }\alpha := \frac{a}{b}\]

A régi értelmezés egy kicsit más felfogásban...

Ha a koordináta-rendszerben tekintünk egy α hegyesszöget mint irányszög és az α irányszögû egyenest, ...

... akkor \(\text{tg }\alpha\) jelentése: az \(\alpha\) irányszögû egyenes és az \(x=1\) egyenletû egyenes metszéspontjának második koordinátája.

Magyarázat: (1) Jelölje a metszéspont második koordinátáját y. (Katt. az ábrán.)

(2) Toljuk el az y szakaszt a metszéspontba! (Kattintás.)

(3) Az ábrán kiemelt derékszögû háromszögben (katt.) felírva \(\text{tg }\alpha\) értelmezését:

\[\text{tg }\alpha = \frac{y}{1} =y\]

A tangens értelmezése (majdnem) tetszõleges irányszögre

Értelmezés: Valamely \(\alpha\) irányszög tangense az α irányszögû egyenes és az \(x=1\) egyenes metszéspontjának második koordinátája.

Megjegyzés: Mivel \(\alpha = 90^\circ\) (és annak bármely \(180^\circ\)-os elforgatottja) esetén az \(\alpha\) irányszögû egyenes nem metszi az \(x=1\) egyenletû egyenest, a fenti definíció \(\alpha = 90^\circ+k\cdot 180^\cdot\) értékû irányszögekre nem értelmezi a tagenst. E szögekre a tangens értékét nem értelmezzük.

Ez a definíció bármely \(\alpha\ne 90^\circ+k\cdot 180^\circ\) \((k\in\mathbb Z)\) elõjeles irányszög esetén értelmezi \(\alpha\) tangensét. Más szavakkal, értelmeztünk egy valós függvényt (neve: tangens-függvény): \[\text{tg }: \mathbb R\setminus\left\lbrace\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb Z\right\rbrace\longrightarrow \mathbb R\]

A tangens-függvény kirajzolása

A szöget radiánban mérjük. Miközben a szög növekszik a megfelelõ egyenes és az \(x=1\) egyenes metszéspontjának második koordinátája más- és más értéket vesz fel. Ezt illusztrálja a következõ animáció:
(Az x-tengelyen a szög értéke fut radiánban.)

tangens kirajzolása

A teljes grafikon jó átláthatósága érdekében célszerûnek látszik, hogy az x-tengelyen ne az egész számokkal, hanem a \(\pi\) többszöröseivel jelöljük a skálát.

A tangens-függvény tulajdonságai

tangens-függvény grafikonja

Értelmezési tartomány: \(D_{\text{tg }} = \mathbb R\setminus\left\lbrace\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb Z\right\rbrace\)
(A grafikonon szaggatott vonalak jelzik, hol nincs értelmezve a függvény.)
Értékkészlet: \(R_{\text{tg }} = \mathbb R\)
(Az \(M\) metszéspont bármilyen magasan, vagy mélyen lehet, a tg-fv. bármilyen nagy, v. kis értéket felvehet.)
Szélsõérték: nincs. (Az értékkészletnek nincs legnagyobb, ill. legkisebb eleme.)
Zérushely(ei): \(x=k\cdot\pi\), \(k\in\mathbb Z\)
Paritás: a függvény páratlan.

Geometriai értelemben: a függvény grafikonja az origóra középpontosan szimmetrikus.
Algebrai értelemben: ha a fv. valamely \(x\) helyen a \(\text{tg } x\) értéket veszi fel, akkor a \(-x\) helyen annak ellentétét, azaz \(\text{tg }(-x)=-\text{tg } x\)

A függvény \(\pi\) szerint periodikus. (Ok: a definícióban szereplõ egyenes \(180^\circ\)-onként ugyanazt a pozíciót veszi fel.)

Geometriai értelemben: a fv. grafikonja \(\pi\) vel eltolva az x tengely pozitív vagy negatív irányába önmagába megy át
Algebrai értelemben: \(\text{tg } x = \text{tg }(x+\pi) = \text{tg }(x-\pi)\)