41. óra: A logaritmus azonosságai

Mint minden mûveletnek, a logaritmusnak ia vannak azonosságai. (Ezek valamiképp a hatvány-azonosságok 'kicsavarásai'.)

1. azonosság:
\[
\log_a b + \log_a c = \log_a{bc},\hphantom{000}a,b,c>0,\,a\ne1
\]
(Ez az (1) hatványazonosság 'kicsavarása'...)

Bizonyítás: Alkalmazzuk mindkét oldalra az \(a\) alapú exponenciális függvényt (az \(\log_a\) inverzét). Mivel az \(a\) alapú exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmû (mert szig. monoton, ha \(a\ne1\)), ez bizonyító erejû átalakítás.
\begin{equation}
\begin{split}
\log_a b + \log_a c &= \log_a bc\hphantom{00000000}&\big/\,(\cdot)^a\\\\
a^{\log_a b + \log_a c} &= a^{\log_a bc}\\\\
a^{\log_a b}\cdot a^{\log_a c} &= bc\\\\
b\cdot c &= bc
\end{split}
\end{equation}Ezzel állításunkat igazoltuk. (Fontos: közben csupa ekvivalens átalakítást végeztünk.)

2. azonosság:
\[
\log_a b - \log_a c = \log_a{\frac{b}c},\hphantom{000}a,b,c>0,\,a\ne1
\]
(Ez az (2) hatványazonosság 'kicsavarása'...)

Bizonyítás: Alkalmazzuk mindkét oldalra az \(a\) alapú exponenciális függvényt (az \(\log_a\) inverzét). Mivel az \(a\) alapú exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmû (mert szig. monoton, ha \(a\ne1\)), ez ekvivalens átalakítás.
\begin{equation}
\begin{split}
\log_a b - \log_a c &= \log_a \frac{b}c\hphantom{00000000}&\big/\,(\cdot)^a\\\\
a^{\log_a b - \log_a c} &= a^{\log_a \tfrac{b}c}\\\\
\frac{a^{\log_a b}}{a^{\log_a c}} &= \frac{b}c\\\\
\frac{b}c  &= \frac{b}c
\end{split}
\end{equation}Ezzel állításunkat igazoltuk. (Fontos: közben csupa ekvivalens átalakítást végeztünk.)

3. azonosság:
\[
\log_a b^x = x\cdot\log_a b,\hphantom{000}a,b>0,\,a\ne1,\,x\in\mathbb R
\]
(Ez az (3) hatványazonosság 'kicsavarása'...)

Bizonyítás: 

\begin{equation}
\begin{split}
\log_a b^x &= x\cdot\log_a b\hphantom{00000000}&\big/\,(\cdot)^a \text{ (kölcs. egyértelmû)}\\\\
a^{\log_a b^x} &= a^{x\cdot\log_a b}\\\\
b^x &= \left(a^{\log_a b}\right)^x\\\\
  b^x &= (b)^x
\end{split}
\end{equation}Ezzel állításunkat igazoltuk.

4. azonosság (áttérés más alapú logaritmusra):
\[
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a},\hphantom{000}a,b,c>0,\,a\ne1,\,c\ne1,\,x\in\mathbb R
\]

\begin{equation}
\begin{split}
\log_a b &= \frac{\log_a b}{\log_a c}\hphantom{00000000}&\big/\,\cdot\log_c a \ne0\text{, mert }c\ne1\\\\
\log_c a\cdot \log_a b &= \log_c b&\big/\,(\cdot)^c \text{ (kölcs. egyértelmû)}\\\\
c^{\log_c a\cdot \log_a b} &= c^{\log_c b}\\\\
 \left(c^{\log_c a}\right)^{\log_a b} &= b\\\\
(a)^{\log_a b} &= b\\\\
b &= b
\end{split}
\end{equation}Ezzel a bizonyítást befejeztük.