40. óra: Az exponenciális és logaritmus-függvények

Az elõzõ órán definiáltuk a hatvány mûveletét pozitív alap mellett, tetszõleges valós kitevõre.

Többé-kevésbé tisztáztuk, hogy rögzített alap mellett a kitevõben a hatvány

Azt is (nagyjából) érzékeltettük, hogy a hatvány eleget tesz az alábbi azonosságoknak:
\begin{equation}
\begin{split}
&\textbf{(1)}\hphantom{0000}a^{x+y} = a^x\cdot a^y,\hphantom{000}&a>0,\,x,y\in\mathbb R\\\\
&\textbf{(2)}\hphantom{0000}a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y},&a>0,\,x,y\in\mathbb R\\\\
&\textbf{(3)}\hphantom{0000}\left(a^x\right)^y = a^{x\cdot y},&a>0,\,x,y\in\mathbb R\\\\
&\textbf{(4)}\hphantom{0000}\left(a\cdot b\right)^x= a^x\cdot b^x,&a,b>0,\,x\in\mathbb R\\\\
\end{split}
\end{equation}

 

Az exponenciális függvény

Ez alapján tehát tetszõleges (rögzített) pozitív alap mellett értelmezhetõ az
\[
f(x) = a^x,\hphantom{000}x\in\mathbb R
\]függény.

E függvény grafikonja az \(a\) értékétõl függõen (kb.) így néz ki:

Az \(f(x)=a^x\) függvény tulajdonságai:

 

A logaritmusfüggvény

Célunk az inverz-függvény értelmezése.

Valamely függvény (mûvelet) inverze alatt kb. azt a függvényt (mûveletet) értjük, ami az eredeti függvény hatását 'megsemmisíti'. Erre az egyenletek és egyenlõtlenségek rendezésénél vesszük nagy hasznát. (Például ilyen párosok: összeadás/kivonás, szorzás/osztás, négyzetreemelés/négyzetgyökvonás, stb.)

A gond az értelmezhetõség körül van.

Mikor mondhatjuk, hogy valamely \(f(x)\) függvény 'visszacsinálható'?

Akkor, ha a függvényértékbõl visszakövetkeztethetünk a behelyettesített értékre.
1. példa: Ha egy számot megszorzunk 2-vel, és eláruljuk az eredményt, biztosan meg tudjuk mondani, mi volt a 2-vel szorzott szám.
2. példa: Ha egy számhoz hozzáadunk 5-öt, és az eredményt eláruljuk, pontosan megmondhatjuk, mi volt az a szám..
Egy rosszabb helyzet: Ha ismerjük egy szám négyzetét.. nem tudjuk biztosan mi volt a négyzetre emelt...

Értelmezés: Egy \(f(x)\) függvényt kölcsönösen egyértelmûnek mondunk, ha minden értékét pontosan egyszer veszi fel.
Azaz:
\[
\text{bármely }x_1\ne x_2\in D_f\,\Longrightarrow\, f(x_1)\ne f(x_2)
\](Vagyis különbözõ helyeken különbözõ értékeket vesz fel.)

Az ilyen függvények esetében a függvényértékbõl egyértelmûen vissza tudunk következtetni arra, hogy azt hol vette fel.

Ezt a 'visszafejtés'-t nevezzük inverz függvénynek.

Legyen \(f:D_f\rightarrow R_f\) egy kölcsönösen egyértelmû függvény!
 
Definíció: Az \(f\) függvény inverzének azt az (általában) \(f^{-1}\)-zel jelölt függvényt értjük, amely:
Jelekkel:
\begin{equation}
\begin{split}
&\text{Ha }f:D_f\rightarrow R_f\text{, akkor }f^{-1}:R_f\rightarrow D_f, és\\\\
&f^{-1}\left(f(x)\right) = x,\forall x\in D_f\hphantom{0000000000}f\left(f^{-1}(y)\right) = y,\forall x\in R_f
\end{split}
\end{equation}

Ha \(a>0\) és \(a\ne1\), akkor az \(f(x)=a^x\) \(\left(x\in\mathbb R\right)\) függvény kölcsönösen egyértelmû (mert szigorúan monoton). Tehát van inverze.

Definíció: Az \(f(x)=a^x\) \(\left(x\in\mathbb R\right)\) függvény inverzét (mely \(a>0,\,a\ne1\) esetén létezik) \(a\) alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük.
Jelekkel:
\begin{equation}
\begin{split}
&\log_{a}:\big]0;\infty\big[\rightarrow\mathbb R\text{ és}\\\\
&\log_a{a^x} = x,\,\forall x\in\mathbb R\hphantom{00000000}\text{és}\hphantom{00000000}a^{\log_a y}=y,\,\forall y\in\mathbb R^+
\end{split}
\end{equation}

Szokás ezt szavakkal úgy kifejezni, hogy: ,,\(a\) alapú logaritmus \(b\) az a szám, amelyre \(a\)-t emelve \(b\)-t kapjuk.''

Az inverz függvény grafikonját az eredeti grafikonjából úgy kaphatjuk, hogy azt tükrözzük az \(x\) és \(y\) tengelyek szögfelezõjére, az \(y=x\) egyenesere (mert a grafikon pontjainak koordinátáit kell felcserélnünk).

Így a logaritmusfüggvény grafikonja az \(a\) értékétõl függõen (kb.) az alábbi:

A \(g(x)=\log_a x\) függvény (\(a>0\), \(a\ne1\)) tulajdonságai: