39. óra: A hatvány értelmezése

A hatvány, mint mûvelet, az évek során lassan terjedt ki egyre 'vadabb' kitevõkre. A kiterjesztés során a permanencia elvét próbáltuk alkalmazni.

I. Az általános iskola ideje

Kezdetben a hatvány csak egy jelölés: Ha az látjuk, hogy \(2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\), akkor egyszerûen azt írjuk, hogy \(2^5\).

Ehhez az értelmezéshez tartoznak azonosságok:
\begin{equation}
\begin{split}
&\textbf{(1)}\hphantom{0000}a^n\cdot a^k = a^{n+k},\hphantom{0000}&a\in\mathbb R,\,n,k\in\mathbb N^+\\\\
&\textbf{(2)}\hphantom{0000}\frac{a^n}{a^k} = a^{n-k},\hphantom{0000}&a\in\mathbb R,\,n,k\in\mathbb N^+,\, n>k\\\\
&\textbf{(3)}\hphantom{0000}\left(a^n\right)^k = a^{nk},&a\in\mathbb R,\,n,k\in\mathbb N^+\\\\
&\textbf{(4)}\hphantom{0000}\left(ab\right)^n = a^nb^n,&a,b\in\mathbb R,\,n\in\mathbb N^+
\end{split}
\end{equation}
Bizonyítás: A tényezõk leszámolása a két oldalon. Pl. az (1) azonosságnál: \(n\) db \(a\) és \(k\) db \(a\) szorzata \(n+k\) db \(a\) szorzata, stb.

II. A nulla és a negatív kitevõ

Mit értsünk nulla kitevõs hatványon?

Ha az (1) azonosságot meg akarjuk tartani, akkor \(a^n=a^{0+n} = a^0\cdot a^n\) alapján azt mondhatjuk, hogy \(a^0\) olyan szám, ami szorzóként nem vátoztatja meg a szorzandó értékét. (\(a=0\) esetén ez nem áll.) Úgy tûnik tehát, hogy \(a^0\)-t célszerû 1-ként definiálni. (Kivéve, ha \(a=0\)).

Mi legyen a negatív egész hatvánnyal?

Ismét az (1) azonosságot vesszük elõ: \(a^0=a^{n+(-n)} = a^n\cdot a^{-n}\) alapján azt mondhatjuk, hogy ha az (1) azonosságot 'életben akarjuk hagyni', akkor \(a^{-n}\cdot a^n =1\) kell legyen. (Ha \(a\ne0\).)

Innen már érthetõ a két értelmezés...

Állítás: Az azonosságok megmaradnak.

Bizonyítás: esetszétválasztással. Minden esetet végig kellene nézni - miszerint az \(n\) pozitív, negatív, vagy nulla, \(k\) pozitív, negatív, vagy nulla.

Nézzünk egyet példa jelleggel!

Igazoljuk az (1) azonosságot \(a\ne0\), \(n,k\in\mathbb Z\), \(n<0\), \(k>0\) esetén.

Legyen \(n=-m\) (ahol \(m\) pozitív egész).
\[
a^{n+k}=a^{-m+k}=\begin{cases}
\text{ha }k>m:\,a^{k-m}=\frac{a^k}{a^m}=\frac1{a^m}\cdot a^k= a^{-m}\cdot a^k=a^n\cdot a^k\\\\
\text{ha }m>k:\,a^{-(m-k)}=\frac1{a^{m-k}}=\frac1{\frac{a^m}{a^k}} = \frac{a^k}{a^m}=\frac1{a^m}\cdot a^k = a^{-m}\cdot a^k = a^n\cdot a^k
\end{cases}
\]
Ezt hosszasan, minden esetre végig kéne csinálni... Nem tesszük.

III. Racionális kitevõ

Most a (3) azonossággal dolgozunk.

Mi lenne a 'jó' például \(2^{\frac34}\) értékére?

Ha a (3) azonosságot 'megtartanánk, akkor
\[
\left(2^{\frac34}\right)^4 = 2^{\frac34\cdot 4}=2^3
\]Tahát \(2^{\frac34}\) olyan szám 'szeretne lenni', amelynek a negyedik hatványa \(2^3\). (Ha a (3) azonosság megmarad...)

Célszerûnek tûnik a \(2^{\frac34}:=\sqrt[4]{2^3}\) értelmezés. Mivel azonban negatív számnak nincs páros kitevõjû gyöke, azért ehhez a definícióhoz elõ kell írjuk, hogy a hatványalap pozitív legyen.

Fontos: A hatvány csak úgy terjeszthetõ ki racionális kitevõre, ha az alap tekintetében elõírjuk, hogy az legyen pozitív.

Állítás: Az azonosságok megmaradnak.

Bizonyítás: Ismét esetszétválasztással kell dolgoznunk. \(a>0\) mindig, de \(n\) és \(k\) lehet ilyen-olyan.

Példa jelleggel igazoljunk egy esetet!

Nézzük az (1) azonosságot abban az esetben, ha az \(a>0\) számot két pozitív racionális szám összegére emeljük \(\left(p,q,r,s\in\mathbb N^+\right)\):
\begin{equation}
\begin{split}
a^{\frac{p}q+\frac{r}s}&=x^{\frac{ps+rq}{qs}} = \sqrt[qs]{a^{ps+rq}} = \sqrt[qs]{a^{ps}\cdot a^{rq}}
= \sqrt[qs]{a^{ps}}\cdot\sqrt[qs]{a^{rq}} = \sqrt[q]{a^p}\cdot\sqrt[s]{a^r} = a^{\frac{p}q}\cdot a^{\frac{r}s}
\end{split}
\end{equation}
És ezt végig kéne csinálnunk még sok más esetben... Ezt sem tesszük.

IV. Irracionális kitevõ (Olvasmány)

Mit értsünk egy (pozitív alapú) hatványon, ha a kitevõje irracionális?

Itt a mûveleti azonosságok már nem segítenek, mivel az irracionális számokat az alapmûveletekkel nem tudjuk definiálni.

Hogyan ragadhatunk meg egy tetszõleges irracionális számot?

Plédául ki az a \(\sqrt{2}\)? Ha azt mondjuk, hogy az a szám, aminek a négyzete 2, az jó, de ezzel most nem érünk semmit, mert pl. a \(3^{\sqrt{2}}\)-t ezzel nem tudjuk értelmezni.

Még problémásabb pl. az \(e\) szám. Ott már semmilyen mûvelet típusú értelmezés nincs. Mit értsünk pl. \(2^e\)-en?

A józan ész azt mondja: vegyük az irrac. szám racionális közelítéseit, és azokat írjuk a kitevõbe, aztán ahova ez a hatvány tart, na az az irracionális kitevõjû hatvány értéke.
Ez egy járható út. A kivitelezés azonban problémás. Mi igazolja azt, hogy ha mi közeledünk az \(e\) számhoz, akkor pl. a közlítéseket 3 fölé emelve minidg konvergens sorozatot kapunk? És mi igazolja azt, hogy mindig ugyanoda fogunk tartani? (Ez a módszer az irracionális számokat a hozzájuk tartó racionális sorozatokkal ragadja meg.)

Egy másik utat fogunk választani. Valamely irracionális számot a nála kisebb racionális számok halmazával ragadjuk meg. Nézzünk két példát:
\begin{equation}
\begin{split}
\sqrt{2}&:=\sup\left\{\left.\frac{p}q\in\mathbb Q\,\right|\,\left(\frac{p}q\right)^2<2,\text{ vagy }\frac{p}q<0\right\}\\\\
e&:=\sup\left\{\left.\frac{p}q\in\mathbb Q\,\right|\,\exists n\in\mathbb N^+\text{, melyre }\frac{p}q<\left(1+\frac1n\right)^n\right\}
\end{split}
\end{equation}
Ez két konkrét eset volt, de nyilván minden irracionális számot pontosan meghatároz azoknak a recionális számoknak a halmaza, amelyek nála kisebbek.

Ha tudnánk, hogy a racionális kitevõs hatvány szig. mon., akkor ez alkalmas lenne az irrac. ritevõs hatvány definíciósára. Vesszük az összes nála kisebb racionális számot, erre fölemejük a kérdéses alapot, és ezen számhalmaz alsó vagy felsõ határa a hatványérték.

Igazoljuk, hogy a hatvány szig. mon., ha az alap pozitív, és negy egy!

Az igazoláat egy példán fogjuk megmutatni. Pl. \(\frac85<\frac{13}8\). Megmutatjuk, hogy \(2^{\frac85}<2^{\frac{13}8}\).
\begin{equation}
\begin{split}
2^{\frac85}&\overset{\text{?}}{<}2^{\frac{13}8}\\\\
\sqrt[5]{2^8}&\overset{\text{?}}{<}\sqrt[8]{2^{13}}\hphantom{000000}&\big/\,\left(\cdot\right)^{40}\\\\
\left(\sqrt[5]{2^8}\right)^{40}&\overset{\text{?}}{<}\left(\sqrt[8]{2^{13}}\right)^{40}\\\\
\left(\left(\sqrt[5]{2^8}\right)^{5}\right)^8&\overset{\text{?}}{<}\left(\left(\sqrt[8]{2^{13}}\right)^{8}\right)^5\\\\
\left(2^8\right)^8&\overset{\text{?}}{<}\left(2^{13}\right)^5\\\\
2^{64}&\overset{\text{?}}{<}2^{65}
\end{split}
\end{equation}
És ez utúbbi igaz, mert egy 2-es szorzóval több van a jobb oldalon.
Mindig ez történik, ha az alap nagyobb 1-nél. Ha tehát a hatványalap nagyobb 1-nél, akkor a hatvány a kitevõben szigorúan monoton nõ.
Ha a hatványalap kisebb 1-nél, akkor minden ugyanígy megy, csak a jobb oldal kisebb lesz, mert néhány 1-nél kisebb szorzóval több lesz a jobb oldalon. Ha tehát a hatványalap kisebb 1-nél, akkor a hatvány a kitevõben szigorúan monoton fogy.

BEFEJEZÉS