Definíció: Az \(a_n\) sorozat  konvergens és határértéke az \(A\) szám, ha bármilyen \(\varepsilon>0\) számhoz található olyan (\(\varepsilon\)-tól függõ) \(N_{\varepsilon}\in\mathbb N\) küszöbindex, amelyre
\[
\big|\,a_n-A\,\big|<\varepsilon\hphantom{00000}\text{, ha }n>N
\]Jele:
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=A\hphantom{0000000000}\text{vagy}\hphantom{0000000000}a_n\rightarrow A
\]

Az \(N\)-re vonatokozó feltétel (\(N\in\mathbb N\)):
\begin{equation}
\begin{split}
&\hphantom{<} \big|\,a_n-3\,\big| < 0,0005\hphantom{0000000000}&\text{ha }n>N\\
&\hphantom{<} \big|\,\tfrac{3n-7}{n+2}-3\,\big| < 0,0005\\
-0,0005 &< \tfrac{3n-7}{n+2}-3 < 0,0005 &\big/\,\cdot(n+2)>0\\
-0,0005(n+2) &< 3n-7-3(n+2) < 0,0005(n+2)\\
-0,0005n -0,001 &< 3n-7-3n-6 < 0,0005n+0,001\\
-0,0005n -0,001 &< \underbrace{-13 < 0,0005n+0,001}_{-<+\text{ aut. igaz}}\\
-0,0005n -0,001 &< -13 &\big/\,\cdot(-1)\\
0,0005n+0,001 &> 13 &\big/\,-0,001\\
0,0005n &> 12,999 &\big/\,:0,0005\\
n &> 25\,998
\end{split}
\end{equation}Válasz: A köszöbindex N = 25 998.

Tétel: Legyenek \(a_n\) és \(b_n\) konvergens sorozatok,
\[
a_n\rightarrow A\hphantom{0000000000}\text{és}\hphantom{0000000000}b_n\rightarrow B
\]Ekkor
\begin{equation}
\begin{split}
&\mathbf{(1)}\hphantom{000}a_n+b_n &\longrightarrow A+B\\\\
&\mathbf{(2)}\hphantom{000}a_n-b_n &\longrightarrow A-B\\\\
&\mathbf{(3)}\hphantom{000}a_n\cdot b_n &\longrightarrow A\cdot B\\\\
&\mathbf{(4)}\hphantom{000}\frac{a_n}{b_n} &\longrightarrow \frac{A}B\hphantom{000}\text{, ha }B\ne0\text{ és }b_n\ne0, \forall n\text{-re}
\end{split}
\end{equation}

Alakítsuk át kicsit a \(b_n\) sorozat képletét, majd alkalmazzuk az átviteli-elvet:
\[
b_n = \frac{2n^2+3n-1}{n^2+n+1} = \frac{2+\frac3n-\frac1{n^2}}{1+\frac1n+\frac1{n^2}} \longrightarrow
\frac{2+0-0}{1+0+0} = 2
\]Válasz: a \(b_n\) sorozat határértéke 2.

Tétel: Legyenek \(a_n\) és \(b_n\) olyan konvergens sorozatok, melyek határértéke azonos:
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n = \lim_{n\rightarrow\infty}b_n = A
\]Legyen továbbá \(c_n\) egy olyan sorozat, melyet az \(a_n\) és a \(b_n\) közrefog:
\[
a_n\le c_n\le b_b
\]
Állítás: A fenti feltételek mellett \(c_n\) konvergens, és határértéke
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}c_n = A
\]
Megjegyzés: a feltételben szereplõ \(a_n\) sorozat, az alsó becslés a minoráns, a \(b_n\), a felsõ becslés a majoráns.

III.1. példa: Igazolja, hogy az \(a_n=\sqrt[n]{n^2+3n}\), \(n\in\mathbb N^+\) sorozat konvergens! Mennyi a határértéke?
 
Alsó becslés: Mivel \(1<n^2+3n\) és az \(\sqrt[n]{\cdot}\) fv. szig, mon, növõ, azért:
\[
\sqrt[n]{n^2+3n} > \sqrt[n]{1} = \color{blue}{1}
\]
Felsõ becslés: Annak érdekében, hogy a gyökjel alatt egyetlen kifejezést kapjunk, szeretnénk a \(3n\)-et felülrõl becsülni egy 'másik' \(n^2\)-tel. De \(3n<n^2\) csak akkor áll, ha \(n>3\). Ez minket nem zavar, hisz \(n\rightarrow\inf]ty\)-ben utazunk.
\[
\underbrace{\sqrt[n]{n^2+3n} < \sqrt[n]{n^2+n^2}}_{\text{ha }n>3} = \color{red}{\sqrt[n]{2n^2}}
\]A majoráns 1-hez tart, mert:
\begin{equation}\begin{split}
\lim_{n\rightarrow\infty}\color{red}{\sqrt[n]{2n^2}} &=
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{2\cdot n\cdot n\vphantom{n^2}} =
\underbrace{\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\sqrt[n]{2\vphantom{n^2}}\cdot \sqrt[n]{n\vphantom{n^2}}\cdot\sqrt[n]{n\vphantom{n^2}}\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{2\vphantom{n^2}}\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n\vphantom{n^2}}\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n\vphantom{n^2}}}_{\text{Alkalmazzuk az átviteli elvet}} = 1\cdot1\cdot1 = 1
\end{split}\end{equation}
Összefoglalva a becsléseinket:
\[
\color{blue}{1} < \sqrt[n]{n^2+3n} < \color{red}{\sqrt[n]{2n^2}}\hphantom{0000000000}\text{ha }n>3
\]A minoráns és a majoráns (mint igazoltuk) egyaránt 1-hez tart, így a rendõr-elv alapján:
\[
\color{darkred}{\mathbf{\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n^2+3n} = 1}}
\]

---

 
III.2. példa: Mutassa meg, hogy a \(b_n=\frac{4^n}{n!}\), \(n\in\mathbb N\) sorozat konvergens, és adja meg a határértékét!
 
Sejtésünk szerint a sorozat 0-hoz tart, így alsó becslésnek teljesen megfelel a nyilvánvaló 0.
Alsó becslés:
\[
\tfrac{4^n}{n!} > \color{blue}{0}
\]
Mivel a 0-hoz tartásban utazunk, vigyázunk arra, hogy még a felsõ becslés is 0-hoz tartson.
(Becslésünk a nevezõ növelésén és a törtek egyszerûsítésén alapszik.)
Felsõ becslés:
\begin{equation}\begin{split}
\tfrac{4^n}{n!} = \tfrac{\overbrace{4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdots4\cdot4}^{n\text{ db}}}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots(n-1)n} =
\tfrac{4\cdot4\cdot4\cdot\overbrace{4\cdot4\cdots4\cdot4}^{n-3\text{ db}}}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots(n-1)n} <
\tfrac{4\cdot4\cdot4\cdot\overbrace{4\cdot4\cdots4\cdot4}^{n-3\text{ db}}}{1\cdot2\cdot3\cdot\underbrace{4\cdot4\cdots4}_{n-4\text{ db}}n} = \tfrac{4\cdot4\cdot4\cdot4}{1\cdot2\cdot3\cdot n}=
\color{red}{\tfrac{128}{3}\cdot\tfrac1n}
\end{split}\end{equation}Felsõ becslésünk csak akkor áll, ha a nevezõben tényleg van legalább 5 tényezõ - ahogy írtuk.
 
A majoráns 0-hoz tart az átviteli elv alapján, hiszen \(\frac1n\rightarrow0\).
 
Összefoglalva:
\[
\color{blue}{0} < \tfrac{4^n}{n!} < \color{red}{\tfrac{128}{3}\cdot\tfrac1n}\hphantom{00000000}\text{ha }n>4
\]Mivel a minoráns és a majoráns egyaránt 0-hoz tart, a rendõr-elv alapján:
\[
\color{darkred}{\mathbf{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4^n}{n!} = 0}}
\]

---

 
III.3. példa: Részletesen indokolja, hogy a \(c_n=\sqrt[n]{10}\), \(n\in\mathbb N^+\) sorozat 1-hez tart!
 
Részletes indoklást kértek, amibõl 'érezzük', hogy nem azt akarják látni, hogy 'tanultuk, tehát igaz'.

Az alsó becslés azon alapszik, hogy 10 > 1, és hogy az n-edik gyök szig. mon. növõ:
\[
\sqrt[n]{10} > \sqrt[n]{1} = \color{blue}{1}
\]
A felsõ becslés a számtani és mértani közép közti egyenlõtlenségen alapszik:
\[
\sqrt[n]{10} = \underbrace{\sqrt[n]{10\cdot1\cdot1\cdot1\cdots1}}_{n-1\text{ db 1-est betoldunk}} \le
\frac{10+\overbrace{1+1+1+\ldots+1}^{n-1\text{ db}}}{n} =\frac{10+n-1}{n} = \frac{n+9}{n} = \frac{n}n+\frac9n=
\color{red}{1+\frac9n}
\]A majoráns az átviteli elv alapján 1-hez tart, mert \(\frac1n\rightarrow0\).
 
Összefoglalva a be\(\sqrt[n]{n^5} \rightarrow 1\)cslésünket:
\[
\color{blue}{1} < \sqrt[n]{10} \le \color{red}{1+\tfrac9n}
\]Az alsó és a felsõ becslés egyaránt 1-hez tart, így a rendõr-elv alapján:
\[
\color{darkred}{\mathbf{\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{10} = 1}}
\]

---

 
III.4. példa: Részletesen magarázza meg, hogy \(n^5<1,01^n\), ha n elég nagy.
 
1. lépés: Megmutatjuk, hogy
\[
\sqrt[n]{n^5} \rightarrow 1
\]Indoklás:
\[
\sqrt[n]{n^5} = \sqrt[n]{n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n} = \underbrace{\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\rightarrow1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1}_{\text{Alkalmazzuk az átviteli elvet 5 tényezõre}} = 1
\]Megjegyzés: Az átviteli elvet csak határozott, véges számú tényezõre alkalmazhatjuk határozatlan, pl. n számú tényezõre nem igaz.
 
2. lépés: Kihasználjuk, hogy \(\sqrt[n]{n^5} \rightarrow 1\).
 
Mivel \(\sqrt[n]{n^5} \rightarrow 1\), azért igaz rá a határérték definíciója, vagyis az \(\varepsilon=0,1\) számhoz található olyan \(N_{0,1}\) küszöbindex, amely melett:
\[
\left|\sqrt[n]{n^5}-1\right|<0,1\hphantom{00000000}\text{ha }n>N_{0,1}
\]Rendezgessük ezt egy kicsit:
\begin{equation}\begin{split}
-0,1 < \sqrt[n]{n^5}-1 &< 0,1\hphantom{00000000}&\text{ha }n>N_{0,1}\\
0,9 < \sqrt[n]{n^5} &< 1,1&\text{ha }n>N_{0,1}
\end{split}\end{equation}Az alsó becslés most minket nem érdekel.
 
3. lépés: Kihasználjuk a becslésünket:
\begin{equation}\begin{split}
\sqrt[n]{n^5} &< 1,1\hphantom{00000000}&\text{ha }n>N_{0,1}\\
n^5 &< 1,1^n&\text{ha }n>N_{0,1}
\end{split}\end{equation}Ezt úgy is mondhatjuk röviden, hogy
\[
\color{darkred}{\mathbf{n^5 < 1,1^n\text{, ha }n\text{ elég nagy.}}}
\]