27. óra: A Weierstrass-féle konvergenciakritérium

Az alapgondolat az, hogy ha egy sorozat monoton növõ (vagy fogyó), akkor nemigen van más lehetõsége, mint vagy konvergálni valamihez, vagy a végtelenbe (fogyó esetben a  -∞-be) tartani.
(A monotonitás miatt ugyanis 'ingadozni' nem tud.)

Ezt persze igazolni kell.

Ha egy monoton sorozat nem tart a végtelenbe, azt a korlátosságáról jól felismerhetjük.

Korlátos halmazok

Vizsgáljuk elõször általában a korlátos halmazokat!

Definíció: Egy \(H\) halmaz felölrõl korlátos, ha van olyan \(K\in\mathbb R\) szám, amely a \(H\) halmaz minden eleménél nagyobb v. egyenlõ:
\[
\exists K\in\mathbb R\text{, amelyre }h\le K\text{, }\forall h\in H
\](Hasonlóan definiálható az alulról korlátos halmaz is. Ha egy halmaz alulról és felülrõl is korlátos, akkor korlátosnak mondjuk.)

A felülrõl korlátos halmazoknak persze nem csak egy felsõ korlátja lehet, hisz' ha egy \(K\) szám felsõ korlát, akkor nyilván a \(K'>K\) szám is az.

Bizonyítás: látható↓, rejtett↑.

A \(H\ne\emptyset\) felülrõl korlátos halmaz a valós számegyenest két részre vágja:

• jelölje \(B\) azokat a valós számokat, amelyek felsõ korlátjai \(H\)-nak, és
• jelölje \(A\) azokat, amelyek nem felsõ korlátjai \(H\)-nak.

Az \(A\) és \(B\) halmazokról a következõket mondhatjuk el:

• Ha \(a\in A\) és valamely \(c\in\mathbb R\)-re \(c<a\), akkor \(c\in A\).
  (Tehát ha valami nem felsõ korlát, akkor minden nála kisebb sem az.)
• Ha \(b\in B\) és valamely \(c\in\mathbb R\)-re \(c>b\), akkor \(c\in B\).
  (Ha valami felsõ korlát, akkor minden nála nagyobb is az.)
• \(A\cap B=\emptyset\). A metszetük üres.
  (Nem lehet senki egyszeree felsõ korlát is, meg nem is az.)
• \(A\cup B = \mathbb R\), Úniójuk a teljes valós számhalmaz.
  (Minden szám vagy felsõ korlát, vagy nem. Mi más lehetne?)

Ábrázoljunk a számegyenesen egy ilyen \(A\), \(B\) halmazpárt! (Az \(A\)-t kék, a \(B\)-t piros jelöli.)

Az egyik (A) az ℝ alsó, a másik (B) a felsõ ℝ felsõ részét foglalja el. És összeérnek, hisz' mindenki vagy ide, vagy oda tartozik. Ahol 'összeérnek', a két halmaz elválasztópontját, jelöljük x-szel. (Az ábrán lila.)

Kérdés, hogy x piros, vagy kék?


Állítás: \(x\in B\). (Vagyis azt állítjuk, hogy x piros.)

Bizonyítás: indirekt. Tegyük fel, hogy x  nem felsõ korlát!

(1) Ha x nem felsõ korlát, vagyis nem nagyobb-egyenlõ minden \(H\)-beli elemnél, az azt jelenti, hogy van olyan \(h\in H\), amelyre
\[x<h\]
(2) Legyen \(s=\frac{x+h}2\). \(s\) az \(x\) és \(h\) számtani közepeként:
\[x<s<h\]
(3) Az \(x\) fölött már mindenki piros, tehát \(s\) is. Vagyis \(s\) felsõ korlát. Ez azonban ellentmod \(s<h\)-nak. (\(s\) kisebb valamely \(H\)-belinél.)

Az ellentmondás igazolja indirekt feltevésünk hamisságát, így állításunkat igazoltuk.


Az így megtalált \(x\) a \(H\) felsõ korlátjai közt a legkisebb. Ezzel tételünket igazoltuk.


Hasonlóan igazolható az állítás duálisa: Alulról korlátos nemüres halmaz alsó korlátjai közt van egy legnyagyobb. Ezt a halmaz legnagyobb alsó korlátjának, vagy alsó határának, vagy infimumának nevezzük. Jele:\[\inf H\]

Következzék a fõtétel!

Bizonyítás: látható↓, rejtett↑.

Példák

1. példa:
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{\sqrt{n}} = \text{ ?}
\]

Ha tudnánk, hogy a sorozat konvergens, és határéréke valami \(A\) szám: \(\exists\lim\frac1{\sqrt{n}} = A\), akkor a határérték meghatározása az átviteli-elv segítségével egyszerû:
\[
0 = \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac1n} = \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac1{\sqrt{n}}\cdot\frac1{\sqrt{n}}\right)} = A\cdot A = A^2
\]Ebbõl közvetlenül adódna \(A=0\).

De nem tudjuk!

Ebben segít a Weierstrass-fele konvergenciakritérium.

• A \(\frac1{\sqrt{n}}\) sorozat szigorúan monoton fogy, hisz nyiván \(\frac1{\sqrt{n}}>\frac1{\sqrt{n+1}}\), és
• alulról korlátos: \(0<\frac1{\sqrt{n}}\)

Így a konvergenciakritérium szerint konvergens. E tudásunk mellett a határérték megállapítható.
(Ne felejtsük el, hogy az átviteli-elv csak akkor mûködik, ha tudjuk, hogy a sorozataink konvergensek!)

Kimondhatjuk a végeredményt:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{\sqrt{n}} = \color{darkred}{\mathbf{0}}\]

2. példa:
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac13\right)^n} = \text{ ?}
\]

A sorozat konvergenciáját ismát biztosítja a Weierstrass-féle konvergencikritérium:

• A sorozat szigorúan monotot hogy: \(\left(\frac13\right)^{n+1} = \frac13\cdot\left(\frac13\right)^n < \left(\frac13\right)^n\), és
• alulról korlátos: \(0<\left(\frac13\right)^n\)

Jelölje a határértéket \(B=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac13\right)^n}\).

A sorozatot \(\frac13\)-dal szorozva az önmagán belül egy taggal balra eltolódik (és elõrõl eltûnik az 1-es):
\begin{equation}
\begin{split}
\left(\frac13\right)^n &= 1\text{ ; }\frac13\text{ ; }\left(\frac13\right)^2\text{ ; }\left(\frac13\right)^3\text{ ; }\ldots\text{ ; }\left(\frac13\right)^n\text{ ; }\ldots\text{ }\big/\text{ }\cdot\frac13\\\\
\left(\frac13\right)^{n+1} &= \frac13\text{ ; }\left(\frac13\right)^2\text{ ; }\left(\frac13\right)^3\text{ ; }\left(\frac13\right)^4\text{ ; }\ldots\text{ ; }\left(\frac13\right)^{n+1}\text{ ; }\ldots
\end{split}
\end{equation}Ettõl a sorozat határértéke nem változik meg, hisz a 'végtelenben' ugyanaz a sorozat maradt - csak az elsõ tagját vesztette el.

Így a határértékre kapjuk a következõt:
\[
B = \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac13\right)^{n}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac13\right)^{n+1}} = \lim_{n\rightarrow\infty}{\left[\frac13\cdot\left(\frac13\right)^{n}\right]} = \frac13\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac13\right)^{n}} = \frac13B
\]A \(B=\frac13B\) egyenlet \(B=0\) megoldásából adódik a hetárértékre az eredmény:
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac13\right)^n} =\color{darkred}{\mathbf{0}}
\]

Megjegyzés: A 2. példában elmondottak szó szerint elmodhatók bármely \(q^n\), \(n\in\mathbb N\) sorozatra, ha \(0<q<1\) rögzített valós szám. (Példánkban \(q=\frac13\) volt.) Így fenti eredményünket általánosíthatjuk:
\[\lim_{n\rightarrow\infty}{q^n} = 0\text{, ha }0<q<1\text{ }\mathbf{ rögzített }\text{ valós szám.}\]