24. óra: Rendõr-elv
Az alapelv az, hogy a vizsgálandó sorozatot beszorítjuk két konvergens sorozat közé. Ha ez sikerül úgy, hogy a két sorozat ugyanoda tart, és bizonyíthatóan folyamatosan közrefogja a vizsgált sorozatot, akkor kimondhatjuk, hogy az is konvergens, és határértéke ugyanaz, mint a két közrefogó sorozat közös határértéke. Pontosabban:
\[\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\lim_{n\rightarrow\infty} b_n=A\]Legyen továbbá \(c_n\) egy olyan sorozat, melyet e két sorozat közrefog:\[a_n\le c_n\le b_n\]
Állítás: Ekkor \(c_n\) is konvergens és határértéke \(A\):
\[\exists\lim_{n\rightarrow\infty} c_n\text{ és }\lim_{n\rightarrow\infty} c_n=A\]
Elnevezések: A fenti összefüggésben az alsó becslést (az \(a_n\)-t) minoráns sorozatnak, a felsõ becslést (a \(b_n\)-t) majoráns sorozatnak nevezzük.
Bizonyítás: látható↓,
rejtett↑.
(1) Mivel \(\lim a_n=A\), az \(\varepsilon>0\) számhoz található olyan \(K\in\mathbb N\) küszöbindex, amelyre\[\big|\text{ }a_n-A\text{ }\big| < \varepsilon\text{, ha }n>K\]
(2) Hasonlóan \(\lim b_n=A\) miatt, az \(\varepsilon>0\) számhoz található olyan \(M\in\mathbb N\) küszöbindex, amelyre\[\big|\text{ }b_n-A\text{ }\big| < \varepsilon\text{, ha }n>M\]
(3) Legyen \(N:=\max(K,M)\). Mivel \(N\le K\) és \(N\le M\), ha \(n>N\), akkor egyúttal \(n>K\) és \(n>M\), azaz az ilyen \(N\)-ekre az (1), ill. (2) becslések egyszerre érvényesek.
(4) Milyen messze van \(c_n\) az \(A\) számtól, ha \(n>N\)?
(5) Az \(a_n\le c_n\le b_n\) feltétel alapján\[c_n\in\left[ a_n;b_n\right]\]
(6) Az \(\left[ a_n;b_n\right]\) intervallum mindkét végpontja közelebb van \(A\)-hoz mint \(\varepsilon\), ha \(n>N\), azért az intervallum minden eleme, így \(c_n\) is, \(\varepsilon\)-nál közelebb van \(A\)-hoz:\[\big|\text{ }c_n-A\text{ }\big| < \varepsilon\text{, ha }n>N\]
Vagyis \(\lim c_n=A\). És ezt akartuk belátni.
Egy példa a rendõr-elv alkalmazására
Példa: \(\sqrt[n]{2}\). Állítás: \(\sqrt[n]{2}\) konvergens, és határértéke 1.\[\lim \sqrt[n]{2} = 1\]
Indoklás: Alsó becslés: \(1<2\), ezért \(\sqrt[n]{1}<\sqrt[n]{2}\), vagyis: \(1<\sqrt[n]{2}\)
Felsõ becslés:
\begin{equation}
\begin{split}
\sqrt[n]{2} &= \sqrt[n]{2\cdot \underbrace{1\cdot 1\cdot\dots\cdot
1}}_{n-1\text{ db}}<\\
\text{Alkalmazzuk a számtani és mértani közép}\\
\text{közti egyenlõtlenséget a 2; 1; 1; ...; 1 számokra:}\\
&<\frac{2 + \overbrace{1+1+...+1}^{n-1\text{ db}}}{n} =
\frac{2+(n-1)\cdot1}{n}=\frac{n+1}n
\end{split}
\end{equation}Összefoglalva:\[1<\sqrt[n]{2}<\frac{n+1}n\]A két
közrefogó sorozat 1-hez tart (a bal oldali a konstans 1, de az nem baj),
így a rendõr-elv alapján a közrefogott sorzat is,
azaz\[\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{2}}=1\]
A fenti okoskodás szinte szó szerint ugyanígy elvégezhetõ a 2 helyett bármely 1-nél nagyobb számmal, vagyis ha \(a>1\), akkor \(\lim \sqrt[n]{a}=1\)
Ha \(0<b<1\), akkor az\[\sqrt[n]{b}=\frac1{\sqrt[n]{\frac1b}}\]alapján \(\lim \sqrt[n]{b}=1\), azaz végülis
bármely \(x>0\) szám esetén \(\sqrt[n]{x}\) konvergens és \[\lim\sqrt[n]{x}=1\](Az \(x=1\) esetet nem tárgyaltuk, de az nyilvánvaló.)