19. óra: A határérték definíciója
Az elõzõ alkalommal láthattuk, hogy vannak olyan helyzetek, amikor valamely mennyiséget csak közelítõ módszerrel tudunk megragadni, meghatározni.
De mikor állíthatjuk bizonyosan azt, hogy a sorozatunk ide, vagy oda tart?
\[
\big|\,a_n-A\,\big|<\varepsilon,\hphantom{000}\text{ha }n>N
\]
Jele:
\[
a_n\rightarrow A \hphantom{00000}\text{vagy}\hphantom{00000}\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=A
\hphantom{00000}\text{vagy röviden}\hphantom{00000}\lim{a_n} = A
\]
A definíció tehát azt kívánja, hogy ha valaki azzal jön, hogy a sorozat tagjai \(\varepsilon=10^{-5}\)-nél közelebb lesznek-e az 'áhított' határértékhez, akkor kell legyen valami küszöbindex, pl. \(N=1200\), amleyre vállaljuk, hogy ha \(n>1200\), akkor \(|a_n-A|<10^{-5}\).
De nem csak erre az egy \(\varepsilon\)-ra kell lennie ilyen küszöbindexnek, hanem bármely pozitív \(\varepsilon\)-ra. Ezt kell garantálnunk, ha azt állítjuk, hogy \(a_n\rightarrow A\).
Ezt elég nehéz bizonyítani.
Olyan feladatokkal kezdjük, ahol a sorozat határértékét egylõre csak 'megsejtjük' - táblázatlezelõvel, 'érzéssel', stb. - és a megsejtett határértékhez konkrét \(\varepsilon\) érték mellett adunk küszöbindexet.
Nézzünk egy ilyen példát!
Példa: Legyen \(a_n=\frac{2n-1}{n+2}\). 'Sejtsük meg'
az \(A\) határértékét, és a \(\varepsilon=0,005\) pozitív számhoz adjunk
olyan \(N\in\mathbb N\) küszöbindexet, amelyre:
\[
\big|\,a_n-A\,\big|<\varepsilon,\hphantom{000}\text{ha }n>N
\]
Megoldás
(1) A 'megsejtés'. Ha \(n\) szép nagy, pl.
\(n=1\,000\,000\), akkor a számláló 'kb.' a duplája a nevezõnek,
így a tört értéke 'szinte' 2 lesz. Pontosabban:
\[
a_{1\,000\,000}=\frac{2\,000\,000-1}{1\,000\,000+2} =
\frac{1\,999\,999}{1\,000\,002} = 1,999994
\]Érzésünk: a határérték talán 2.
(2) Meg kell tehát oldanunk az alábbi
egyenlõtlenséget:
\begin{equation}
\begin{split}
&\hphantom{<}\left|\tfrac{2n-1}{n+2}-2\right|<0,005\\\\
-0,005 &<
\tfrac{2n-1}{n+2}-2<0,005\hphantom{00000}\big/\,\cdot(n+2)>0\text{,
mert }n\in\mathbb N\\\\
-0,005n-0,01 &< 2n-1-2n-4 < 0,005n+0,01\\\\
-0,005n-0,01 &< -5 < 0,005n+0,01\\
&\hphantom{<}\text{A jobb oldali egyenlõtlenség azonosan igaz,
mert }-<+\text{ biztosan.}\\\\
\text{Marad tehát:}\\
-0,005n-0,01 &< -5\\\\
-0,005n &< -4,99\hphantom{00000}\big/\,:(-0,005)<0\text{,
tehát a reláció-jel fordul}\\\\
n &> 998
\end{split}
\end{equation}A küszöbindexünk tehát az N = 998.
(Mert ha \(n>998\), akkor a sorozat tarjai \(\varepsilon=0,005\)-nél
kevésbé térnek el a 2-tõl.)
