12. óra: Nevezetes közepek
Mit értsünk bizonyos számok középértékén?
Valami olyasmit szeretnénk, hogy ha van néhány számunk, pl. 5; 7; 8, akkor nem lehetne-e ezt a három számot valamiképp' egyetlen számmal helyettesíteni?
A kérdés az, hogy ha ez a három szám együtt kifejt valami hatást, melyik volna az az egyetlen szám, ami ugyanazt a hatást fejtené ki?
I. A számtani közép
A leggyakoribb hatás: amikor a számok összeadódnak.
Pl.: Három ember elmegy a kocsmába. Egyiküknél
3000 Ft van, másikuknál 7000 Ft, a harmadiknál 2000 Ft. Együttes
vásárlóerejük 12 000 Ft, vagyis pont annyi, mintha mindegyiküknél
\(\frac{3000+7000+2000}3=4000\) Ft lenne. Mondhatjuk tehát, hogy
'átlagosan' 4000 Ft van náluk,
mert 4000 + 4000 + 4000 = 3000 + 7000 + 2000.
Nézzük pontosan, mit is akarunk!
Adottak az \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\) számok. Mi volna az az
egyetlen \(s\) szám, amely õket összeadásban helyettesíteni tudná?
Pontosabban, amelyre:
\begin{equation}
\begin{split}
a_1+a_2+\ldots+a_n &= \overbrace{s+s+\ldots+s}^{n\text{ db}}\\
\text{amit kicsit rendezve:}\\
a_1+a_2+\ldots+a_n &= n\cdot s\\\\
\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}n &= s
\end{split}
\end{equation}
\[
s = \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}n
\]azaz a számok összege osztva a darabszámukkal.
II. A mértani közép
Egy másik gyakori hatás: amikor a számok szorzódnak.
Pl.: 2024-ben emelik a fizetésemet 20%-kal,
2025-ben 12%-kal, 2026-ban 34%-kal. 'Átlagosan' mennyivel emelték a
fizetésemet évente?
Ha 2023-ban \(F\) volt a fizetésem, akkor 2024-ben \(F\cdot 1{,}2\)
lesz, 2025-ben \(F\cdot 1{,}2\cdot1{,}12\), míg a végére, 2026-ban
\(F\cdot 1{,}2\cdot1{,}12\cdot1{,}34\) lesz.
Hogyan lehetne ezt egyetlen számmal jellemezni?
Olyan számot keresünk, - jelölje \(m\) - ami a három éven át ugyanazt
a hatást fejtené ki, mint ami amúgy történt: \(m\cdot m\cdot m =
1{,}2\cdot1{,}12\cdot1{,}34 \), vagyis \(m^3=1{,}2\cdot1{,}12\cdot1{,}34
\).
Ez az \(m\) szám nem lehet más, miint
\(m=\sqrt[3]{1{,}2\cdot1{,}12\cdot1{,}34} \approx 1{,}217\).
Az eredmény tehát 21,7% lenne, míg az 'átlagolás' \(\frac{20+12+34}3 = 22%\)-os eredményt adja, ami láthatóan téves.
Pontosabban tehát, ha adottak az \(a_1, a_2, \ldots, a_n\ge0\) számok,
akkor mi lenne az az \(m \) szám, melyre
\begin{equation}
\begin{split}
a_1\cdot a_2\cdots a_n &= \overbrace{m\cdot m\cdots m}^{n\text{
db}}\\
\text{amit kicsit rendezve:}\\
a_1\cdot a_2\cdots a_n &= m^n\\\\
\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n\vphantom{1}} &= m
\end{split}
\end{equation}
\[
m=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n\vphantom{1}}
\]azaz a szorzatuknak a darabszámuknak megfelelõ gyöke.
III. A harmonikus közép
Egy ritkább hatás: amikor a számok reciprokösszegben hatnak együtt.
Pl.: Bp.-rõl Debrecenbe megyünk. Az út 240 km.
Úgy tervezzük, hogy v1 = 80 km/h sebességgel fogunk
haladni, azonban az út elsõ részén, Szolnokig (120 km) csak 60 km/h-val
sikerül. Ezért az út második részén (az is 120 km) már v2
= 100 km/h-val haladunk.
Mekkora a teljes útra vett átlagsebességünk?
Fizikai gondolatmenet: Az út elsõ részét (120 km) v1
= 60 km/h sebességgel haladtunk, így az út \(t_1=\frac{120}{v_1} =
2\,\text{h}\) ideig tartott. Az út második része: 120 km, v2
= 100 km/h, az idõ, \(t_2 = \frac{120}{v_2}=\frac{120}{100} =
\frac65\,\text{h}\).
Összesen tehát \(2+\frac65 = \frac{16}5\,\text{h}\) telt el, így az
átlagsebességünk:
\(v=\frac{240}{\frac{16}5}=\frac{1200\cdot5}{16}=75\,\text{km/h}\).
(Ha egyszerûen átlagoltunk volna, akkor \(\frac{60+100}2 = 80\) jött
volna ki, ami láthatóan helytelen.)
Nézzük egy kicsit általánosabban!
Valamely \(2s\) utat úgy teszünk meg, hogy az elsõ felén \(v_1\), a
második felén \(v_2\) sebességgel haladunk. Az út megtételéhez szükséges
teljes idõ: \(t=\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}\).
Mi volna az a \(v\) sebesség, ami az egész útra ugyanekkora idõt
eredményezne?
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} &=\frac{s}v +
\frac{s}v\hphantom{00000}\big/\,:s\\\\
\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} &=\frac{1}v + \frac{1}v
\end{split}
\end{equation}
\[
\frac1{a_1} + \frac1{a_2}+\ldots+\frac1{a_n} = \underbrace{\frac1h + \frac1h + \ldots + \frac1h}_{n\,\text{db}}
\]A \(h\) kifejezése az \(a_1, \ldots, a_n\) számokkal annyira 'zûrös', hogy kettõnél több számra nem szoktuk elvégezni.
Két szám esetén a harmonikus közép \(\left(a,b\ne0\right)\):
\begin{equation}
\begin{split}
\frac1a + \frac1b &= \frac1h + \frac1h\\
\frac{a+b}{ab} &= \frac2h \\
\frac{ab}{a+b} &= \frac{h}2\\
\frac{2ab}{a+b} &= h
\end{split}
\end{equation}
IV. A négyzetes közép
Egy másik, ritkábban elõforduló, de fontos hatás: amikor a számok négyzetösszegben hatnak.
Arról van szó, ha az \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) számokat olyan \(N\)
számmal szeretnénk 'helyettesíteni', amelyre
\[
a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 = \overbrace{N^2+N^2+\ldots+N^2}
\]Ezt egy kicsit rendezve:
\begin{equation}
\begin{split}
a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2 &= n\cdot N^2\\\\
\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}n &= N^2
\end{split}
\end{equation}
\[
N=\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}n}
\]azaz a négyzeteik számtani közepének a gyöke.
BEFEJEZÉS
Az egyszerûség okán átlagon, középértéken a hétköznapokban a számtani közepet szoktuk érteni és használni. Nem árt azonban tudni, hogy ez néha téves gondolatmenetekre vezethet, és bizonyos helyzetekben más közepek jobban jellemzik az adatsokaságunkat, mint a számtani közép.
Vannak még más, 'ravaszabb' közepek is, ezekrõl késõbb tanulnak majd.
